Zadanie nr 9186387

Zbadaj dla jakich wartości parametru punkt przecięcia się prostych mx + (2m − 1)y − 3m = 0 i x + my − m = 0 należy do prostokąta o wierzchołkach A = (−1 ,−2 ), B = (1,− 2), C = (1,2), D = (− 1,2) ?

Rozwiązanie

Po pierwsze, należy rozszyfrować co to znaczy, że jakiś punkt P = (x,y ) należy do podanego prostokąta.

Jeżeli go sobie naszkicujemy w układzie współrzędnych, to widać, że warunek ten sprowadza się do dwóch podwójnych nierówności

− 1 ≤ x ≤ 1 ∧ − 2 ≤ y ≤ 2.

Musimy zatem znaleźć punkt wspólny podanych prostych i sprawdzić kiedy spełnia on powyższe nierówności. Aby wyznaczyć musimy rozwiązać układ równań

{ mx + (2m − 1 )y− 3m = 0 x + my − m = 0.

Odejmujemy od pierwszego równania drugie pomnożone przez (żeby skrócić ).

(2m − 1 )y− m2y − 3m + m 2 = 0 m 2 − 3m = y (m2 − 2m + 1) 2 m--−--3m-= y. (m − 1)2

Po drodze dzieliliśmy przez m − 1 , więc sprawdźmy jeszcze co się dzieje dla m = 1 . Mamy wtedy proste x+ y− 3 = 0 i x + y − 1 = 0 , które nie mają punktów wspólnych.