Zadanie nr 9957269

Wyznacz równanie symetralnej odcinka o końcach A = (2;− 3) i B = (− 2;5) .

Rozwiązanie

Zaczynamy od obrazka.

Sposób I

Symetralna to zbiór punktów M = (x ,y) , które są równoodległe od obu końców odcinka. Punkty spełniają więc równanie

AM 2 = BM 2 2 2 2 2 (x − 2) + (y+ 3) = (x + 2) + (y − 5) x2 − 4x + 4 + y2 + 6y + 9 = x 2 + 4x + 4+ y2 − 10y+ 25 16y = 8x+ 16 / : 16 1- y = 2 x + 1.

Sposób II

Możemy skorzystać ze wzoru na równanie prostej prostopadłej do wektora →v = [p,q] i przechodzącej przez punkt P = (x ,y ) 0 0

p(x − x ) + q(y − y ) = 0 . 0 0

W naszej sytuacji mamy

→v = −A→B = [− 2 − 2,5 + 3] = [− 4,8]

oraz ( 2−2-−-3+5) P = 2 , 2 = (0 ,1) (środek odcinka ). Zatem szukana prosta ma równanie

− 4(x − 0) + 8(y − 1 ) = 0 / : 8 1- − 2 x+ y− 1 = 0 1 y = -x + 1 . 2

Sposób III

Jeżeli nie chcemy korzystać ze wzoru z wektorem, to piszemy najpierw równanie prostej . Można skorzystać ze wzoru na równanie prostej przez dwa punkty, ale my obejdziemy się bez tego wzoru. Szukamy prostej postaci y = ax+ b , na której leżą punkty o współrzędnych (2,− 3) i (− 2,5) . Podstawiając te współrzędne do równania prostej otrzymujemy układ równań

{ − 3 = 2a+ b 5 = − 2a+ b

Odejmując od pierwszego równania drugie (żeby zredukować ) mamy − 8 = 4a , czyli a = − 2 . Współczynnik nie jest nam potrzebny, więc go nie wyliczamy.

Symetralna odcinka jest prostopadła do prostej , więc jej współczynnik kierunkowy musi być równy (bo pomnożony przez − 2 ma dawać -1). Zatem symetralna ta ma postać y = 1x + b 2 . Współczynnik wyznaczamy podstawiając współrzędne środka odcinka , czyli punktu (2−-2 −3+-5) P = 2 , 2 = (0,1) .