/Szkoła średnia/Geometria/Planimetria/Okrąg i koło/Styczność/Styczna do dwóch okręgów

Zadanie nr 9663131

Do dwóch okręgów o promieniach długości 3 cm i 10 cm poprowadzono wspólną styczną tak, że okręgi znajdują się po różnych stronach tej stycznej. Odległość między środkami okręgów wynosi 39 cm. Oblicz długość odcinka między punktami styczności.

Wersja PDF

Rozwiązanie

Zaczynamy naturalnie od schematycznego rysunku.


PIC


Trójkąty AP D i BP C są prostokątne i mają wspólny kąt przy wierzchołku P – są zatem podobne. Mamy zatem

AD-- = BC-- AP PB 3 10 ----= --------- AP 39 − AP 117 − 3AP = 10AP 13AP = 117 ⇒ AP = 9 PB = 30.

Stąd

PB = 39 − AP = 3 0.

Pozostało obliczyć DP i PC . Korzystamy z twierdzenia Pitagorasa

 √ ------- √ -- DP = 81 − 9 = 6 2 -- P C = √ 900-−-100-= 20√ 2.

Zatem  √ -- √ -- √ -- DC = DP + PC = 6 2 + 20 2 = 26 2 .  
Odpowiedź:  √ -- 26 2 cm

Wersja PDF
spinner