Zadania.info
Największy internetowy zbiór zadań z matematyki
cornersUpL
cornersUpR

Zadania

Na skróty

Recenzje

Linki sponsorowane

cornersM

Linki sponsorowane

cornersR

Egzamin Maturalny
z Matematyki
(termin dodatkowy)
poziom rozszerzony
(technikum) 2 czerwca 2015 Czas pracy: 180 minut

Zadanie 1
(6 pkt)

Wyznacz wszystkie wartości parametru m , dla których równanie x2 + 2(m − 1 )x+ m2 + m − 1 = 0 ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste x1, x2 takie, że  2 2 3 3 (x 1 + x 2)(x1 + x2) < x1 + x2 .

Zadanie 2
(4 pkt)

Funkcja f jest określona wzorem  x−2- f(x) = x dla wszystkich liczb rzeczywistych x takich, że x ⁄= 0 . Rozwiąż nierówność || ( )| | ||||f -1-- ||− 3|| ≤ 4 x+ 1 .

Zadanie 3
(4 pkt)

Rozwiąż równanie  √ -- sin 2x + 3 sin x = 0 w przedziale ⟨0,2π ⟩ .

Zadanie 4
(3 pkt)

W trapez ABCD wpisano okrąg o środku S . Okrąg ten jest styczny do ramion AD i BC tego trapezu w punktach odpowiednio P i Q (zobacz rysunek).


PIC


Uzasadnij, że trójkąt ASD jest prostokątny. Wykaż, że |AP |⋅|DP | = |BQ | ⋅|CQ | .

Zadanie 5
(3 pkt)

Wykaż, że dla każdej dodatniej i różnej od jedności liczby a i dla każdej dodatniej i różnej od jedności liczby b spełniona jest równość

--1--- --1---- ---1--- --1---- ---1---- --55-- lo g b + lo g 2 b + log 3 b + ⋅⋅⋅+ lo g 9 b + log 10 b = log b . a a a a a a

Zadanie 6
(5 pkt)

Prosta l , na której leży punkt A = (2,5) , przecina parabolę o równaniu  2 y = x w dwóch różnych punktach B = (x1,y1) i C = (x2,y2) . Oblicz wartość współczynnika kierunkowego prostej l , przy której suma y1 + y2 osiągnie wartość najmniejszą.

Zadanie 7
(6 pkt)

Trzy liczby, których suma jest równa 105, są kolejnymi wyrazami rosnącego ciągu geometrycznego. Pierwsza z tych liczb jest jednocześnie pierwszym, druga szóstym, a trzecia dwudziestym szóstym wyrazem pewnego ciągu arytmetycznego. Oblicz te liczby.

Zadanie 8
(6 pkt)

Punkt M = (5,6) jest środkiem ramienia BC trójkąta równoramiennego ABC , w którym |AC | = |BC | . Podstawa AB tego trójkąta jest zawarta w prostej o równaniu  1 y = 3x + 1 oraz A = (− 3,0) . Oblicz współrzędne wierzchołka B tego trójkąta.

Zadanie 9
(5 pkt)

Dany jest sześcian ABCDEF GH o krawędzi długości 2. Punkt P jest środkiem krawędzi BC . Płaszczyzna AHP przecina krawędź CG w punkcie R (zobacz rysunek). Oblicz pole przekroju tego sześcianu płaszczyzną przechodzącą przez punkty A ,H ,R i P .


PIC


Zadanie 10
(4 pkt)

Wyznacz wszystkie wartości parametru m , dla których liczba 1 jest jedynym całkowitym pierwiastkiem wielomianu W (x) = mx 3 + x2 + (m 2 − 9)x+ m .

Zadanie 11
(4 pkt)

Każda z urn oznaczonych liczbami 1, 2, 3 zawiera po 3 kule czarne i 4 białe, a każda urna oznaczona liczbami 4, 5, 6 zawiera po 3 czarne i 2 białe kule. Rzucamy sześcienną kostką do gry, a następnie z urny o numerze równym liczbie wyrzuconych oczek losujemy bez zwracania 2 kule. Co jest bardziej prawdopodobne: wylosowanie dwóch kul czarnych, czy dwóch kul białych?

ArkuszWersja PDF