Zadanie nr 3858768

W kole o środku poprowadzono dwie prostopadłe średnice i oraz cięciwę przecinającą średnicę w punkcie . Oblicz miarę kąta ∡BAM wiedząc, że w czworokąt OBMK można wpisać okrąg.

Rozwiązanie

Sposób I

Zaczynamy od rysunku.

To, że w czworokąt OBMK można wpisać okrąg oznacza, że

OB + KM = KO + MB

Najtrudniejsze w tym zadaniu to wymyślenie sposobu na wykorzystanie tej informacji. Jeżeli się jednak chwilę przyjrzymy, to trójkąt ABM jest prostokątny (bo jest średnicą), więc w miarę łatwo powinno dać się powyliczać wszystkie odcinki biorące udział w powyższej równości.

Oznaczmy r = OB , a = BM i b = AM . Zauważmy, że trójkąt AOK jest podobny do trójkąta AMB (bo też jest prostokątny i ma wspólny kąt z AMB ). Zatem

AO AM ----= ----- OK MB -r--= b- ⇒ OK = ra- OK a b AK AB ----= ----- AO AM 2 AK--= 2r- ⇒ AK = 2r--. r b b

Możemy teraz zapisać równość z początku rozwiązania.

ra r + (AM − AK ) = ---+ a b 2r2- ra- r + b − b = b + a / ⋅b 2 2 rb + b − 2r = ar + ab.

Ponieważ nie bardzo wiadomo co z tym dalej zrobić, zamienimy wszystko na sin α = a2r i cosα = b2r .

2 2 2 rb + b − 2r = ar + ab / : 2r b b2 a ab --+ ----− 1 = ---+ ---- 2r 2r2 2r 2r2 cosα + 2 cos2α − 1 = sin α + 2 sin α cosα cosα + co s2α = sin α + sin2α cosα − sin α = sin2 α− cos2α /()2 1 − 2 sin α cosα = 1− 2sin 2αco s2α sin 2α = 2sin2 αco s2α.

Jest jasne, że α ⁄= 90∘ i α ⁄= 0∘ , czyli sin 2α ⁄= 0 i mamy

1- ∘ ∘ 2 = cos2α ⇒ 2α = 60 ⇒ α = 30 .

Sposób II

Powyższe rozwiązanie jest wprawdzie koncepcyjnie dość proste, ale rachunki nie były zbyt przyjemne, dlatego spróbujmy znaleźć prostszy sposób. Po pierwsze zauważmy, że okrąg wpisany w czworokąt OBMK to po prostu okrąg wpisany w trójkąt ABM , zatem treść zadania można zamienić na trochę prostszą: okrąg wpisany w trójkąt prostokątny ABM ( AM > MB ) jest styczny do symetralnej przeciwprostokątnej ; oblicz miarę kąta .

Jedyna rzecz jakiej będziemy potrzebować w rozwiązaniu to wzory na długości odcinków x ,y i łączących wierzchołki trójkąta ABM z punktami styczności boków z okręgiem wpisanym. Jeżeli oznaczymy standardowo AB = c,AM = b,BM = a , to odcinki te spełniają układ równań

( |{ x + y = c y + z = a |( x + z = b.

Odejmując od pierwszego równania drugie i do wyniku dodając trzecie dostaniemy

2x = c − a+ b ⇒ x = c+--b−-a-. 2

Stąd łatwo wyliczyć a+c−b y = ---2-- i a+b−c z = ---2-- .

Jak już to wiemy to rowiązanie jest prawie natychmiastowe. Każdy z trójkątów prostokątnych SEM i SOF ma kąt ostry równy 45∘ , są więc one równoramienne. Mamy zatem

OF = SF = r = SE = EM OB − y = z c- a+--c−-b- a-+-b-−-c 2 − 2 = 2 b − a = a + b − c a- 1- ∘ c = 2a ⇒ sinα = c = 2 ⇒ α = 30 .

Sposób III

Tak jak w poprzednim sposobie zajmujemy się okręgiem wpisanym w trójkąt prostokątny ABM .

Zauważmy, że prosta jest osią symetrii czworokąta OBMK . Rzeczywiście, przy symetrii względem tej prostej styczna do okręgu przejdzie na styczną do okręgu, czyli na . Ponadto prosta , która jest prostopadła do i styczna do okręgu przejdzie na prostopadłą do i styczną do okręgu, czyli na . To w szczególności oznacza, że BM = BO . Stąd