/Szkoła średnia/Nierówności/Udowodnij.../Liniowe

Zadanie nr 2951348

Wykaż, że dla wszystkich liczb rzeczywistych a,b,c i d takich, że a+b-+c 3 > d , a+b3+d > c i b+c+3d- > a , prawdziwa jest nierówność

a-+-c+--d < b. 3
Wersja PDF

Rozwiązanie

Sposób I

Wiemy, że

a+ b+ c ---------> d ⇒ a + b + c > 3d ⇒ b > 3d − a − c 3 a+-b-+-d-> c ⇒ a + b + d > 3c ⇒ b > 3c− a− d 3 b+ c+ d ---------> a ⇒ b + c + d > 3a ⇒ b > 3a − c− d. 3

Jeżeli dodamy te nierówności stronami, to mamy

3b > (3d − a − c)+ (3c− a− d )+ (3a − c − d) = a+ c+ d a-+-c+--d b > 3 .

Sposób II

Dodajemy trzy dane nierówności stronami

a-+-b-+-c + a-+-b-+-d-+ b+--c+-d-> d + c+ a 3 3 3 2a 2d 2c a + c+ d b > d + c + a − ---− ---− ---= ---------. 3 3 3 3
Wersja PDF