Zadanie nr 7019154

Wykaż, że dla dowolnych dodatnich liczb rzeczywistych i takich, że x 2 + y2 = 2 , prawdziwa jest nierówność x+ y ≤ 2 .

Rozwiązanie

Sposób I

Korzystamy z nierówności

∘ -2----2- x--+-y--≥ x-+-y- 2 2

między średnimi: kwadratową i arytmetyczną. Mamy więc

∘ -------- x+--y- x2 +-y2- 2 ≤ 2 = 1 ⇒ x+ y ≤ 2.

Sposób II

Przekształcamy daną nierówność w sposób równoważny.

2 x+ y ≤ 2 /() x2 + y2 + 2xy ≤ 4 = 2⋅ 2 = 2(x2 + y2) 2 2 2 0 ≤ x + y − 2xy = (x− y) .

Otrzymana nierówność jest oczywiście prawdziwa, więc wyjściowa nierówność też musiała być prawdziwa.

Sposób III

Przekształcamy daną nierówność w sposób równoważny.

x + y ≤ 2 /()2 2 2 x + y + 2xy ≤ 4 2 + 2xy ≤ 4 xy ≤ 1.

Liczby i są dodatnie, więc możemy tę nierówność podnieść stronami do kwadratu.

x 2y 2 ≤ 1 / ()2 2 2 x (2 − x ) ≤ 1 2x 2 − x 4 ≤ 1 0 ≤ x4 − 2x2 + 1 = (x2 − 1)2.

Otrzymana nierówność jest oczywiście prawdziwa, więc wyjściowa nierówność też musiała być prawdziwa.

Sposób IV

Tym razem zauważmy, że równanie x2 + y2 = 2 opisuje na płaszczyźnie okrąg o środku (0,0) i promieniu √ -- 2 . Nierówność y ≤ 2 − x opisuje natomiast półpłaszczyznę znajdującą się pod prostą y = 2− x . Sprawdźmy, ile punktów wspólnych ma ta prosta z danym okręgiem.