Zadanie nr 4644578

W okrąg o średnicy 26 wpisano trapez równoramienny w ten sposób, że suma kwadratów długości jego podstaw jest równa 914, a sinus kąta ostrego wynosi 1123 . Oblicz pole tego trapezu.

Rozwiązanie

Rozpoczynamy od szkicowego rysunku.

Zauważmy, że z podanego sinusa i średnicy okręgu możemy wyliczyć długość przekątnej . Stosujemy twierdzenie sinusów w trójkącie ABD .

-BD-- 12- sinα = 2R ⇒ BD = 2R ⋅sin α = 26⋅ 13 = 2 4.

Chcielibyśmy teraz jakoś wykorzystać trójkąt prostokątny AF D . Zanim to jednak zrobimy obliczmy cosα i tgα .

∘ -------- ∘ ---- ∘ ---------- 1 44 2 5 5 cosα = 1 − sin2 α = 1 − ---- = ----= --- 1 69 169 13 sinα- -1123 12- tgα = cos α = 5-= 5 . 13

Jeżeli oznaczymy AF = x to mamy

DF 12 ----= tgα ⇒ DF = AF tg α = --x . AF 5

Teraz piszemy twierdzenie Pitagorasa w trójkącie F BD .

2 2 2 144 2 FB = BD − DF = 57 6− ---x . 2 5

Teraz łatwo się zaciąć, bo nie bardzo widać jak sensownie wykorzystać podaną sumę kwadratów długości podstaw. Nie zrażajmy się jednak, że nie potraﬁmy ładnie wyliczyć CD = F E – okazuje się, że nie ma to większego znaczenia. Rzeczywiście,