Zadanie nr 6365525

Trapez równoramienny ABCD o ramieniu długości 7 wpisany jest w okrąg, przy czym dłuższa podstawa trapezu, o długości 14, jest średnicą tego okręgu. Przekątne i trapezu przecinają się w punkcie . Oblicz długość okręgu wpisanego w trójkąt CDP .

Rozwiązanie

Narysujmy opisaną sytuację.

Sposób I

Ponieważ podstawa jest średnicą okręgu, trójkąt ABD jest prostokątny, skąd

∘ ------------ ∘ --------- ∘ ------- √ -- BD = AB 2 − AD 2 = 142 − 72 = 7 2 2 − 1 = 7 3.

Obliczmy teraz wysokość trójkąta ABD (a więc również wysokość trapezu). Porównujemy dwa wzory na pole (inny sposób to wykorzystać podobieństwo trójkątów AED i ADB ).

1 1 -AB ⋅DE = -AD ⋅ DB / ⋅2 2 2 √ -- √ -- 14⋅DE = 7 ⋅7√ 3- ⇒ DE = 49--3-= 7--3-. 14 2

Obliczamy teraz długość CD = a drugiej postawy trapezu. Z trójkąta prostokątnego AED mamy

2 2 2 AE + ED = A(D ) 7√ 3- 2 (7− 0,5a)2 + ----- = 7 2 2 ( ) 2 (7− 0,5a)2 = 49 − 4-9⋅3-= 49-= 7- 4 4 2 7 7 7− 0,5a = -- ⇒ 0,5a = -- ⇒ a = 7 . 2 2

Zauważmy teraz, że trójkąty ABP i CP D są podobne (bo mają równe kąty) oraz znamy skalę ich podobieństwa: BA k = CD-= 2 . W takim razie

√ -- √ -- CP = DP = 1-DB = 1⋅ 7 3 = 7---3. 3 3 3

Łatwo też obliczyć pole trójkąta CDP .

√ -- √ -- P = 1CD ⋅P T = 1-⋅7 ⋅ 1-⋅DE = 7-⋅ 1-⋅ 7-3-= 49--3. CDP 2 2 3 2 3 2 12

Promień okręgu wpisanego w trójkąt CDP obliczamy korzystając ze wzoru na pole

PABP = pr,

gdzie

7√3- √ -- p = 1-(CD + CP + DP ) = 7+--2⋅--3--= 21-+-14--3-. 2 2 6

jest połową obwodu trójkąta CDP . Mamy zatem

√ - √ -- √ -- √ -- √ -- √ -- PCDP-- --49123-- ----7--3---- 7--3-(2--3−--3) 1-4⋅3-−-3-⋅7--3 14-−-7--3- r = p = 21+14√ 3= √ -- = 2(12 − 9) = 6 = 2 . ---6---- 2(2 3+ 3)

Długość okręgu jest więc równa

√ -- 14− 7 3 √ -- 2πr = 2π ⋅ ----------= (1 4− 7 3)π. 2

Sposób II

Zanim zabierzemy się za rachunki przyjrzyjmy się dokładniej sytuacji opisanej w treści zadania. Zauważmy, że każdy z trójkątów ASD i BSC jest równoramienny:

AS = SD = SC = SB = 7.

To w połączeniu z długością ramienia trapezu równą 7 oznacza, że każdy z tych dwóch trójkątów jest równoboczny. W takim razie równoboczny jest też trójkąt DSC (bo ∘ ∘ ∘ ∘ ∡DSC = 1 80 − 60 − 60 = 60 oraz SD = SC = 7 ). To oznacza, że dany trapez to połowa sześciokąta foremnego wpisanego w okrąg. Jeżeli oznaczamy przez