/Szkoła średnia/Geometria/Planimetria/Czworokąt/Trapez/Wpisany w okrąg

Zadanie nr 9255027

W okrąg wpisano trapez równoramienny ABCD w ten sposób, że podstawa AB jest średnicą tego okręgu. Ramię trapezu ma długość 10, a jego przekątna jest o 11 dłuższa od promienia okręgu. Oblicz wysokość tego trapezu.

PIC

Wersja PDF

Rozwiązanie

Dorysujmy przekątną i wysokość trapezu.

PIC

Zauważmy, że kąt ADB jest opisany na średnicy, więc trójkąt ABD jest prostokątny. Jeżeli oznaczymy przez r promień okręgu, to AB = 2r i BD = 11 + r . Piszemy teraz twierdzenie Pitagorasa w tym trójkącie.

AD 2 + DB 2 = AB 2 2 2 10 0+ (1 1+ r) = (2r) 0 = 3r2 − 2 2r− 2 21.

Rozwiązujemy otrzymane równanie kwadratowe.

Δ = 22 2 + 4 ⋅3 ⋅221 = 3 136 = 56 2 22−--56- 22+--56- r = 6 < 0 lub r = 6 = 13.

Zatem AB = 2r = 26 i BD = 11+ r = 24 .

Pozostało obliczyć wysokość trapezu – liczymy pole trójkąta ABD na dwa sposoby.

1- 1- 2AB ⋅h = 2 ⋅ AD ⋅DB 12 0 1 3h = 120 ⇒ h = ----. 13

 
Odpowiedź: 12103

Wersja PDF