/Szkoła średnia/Geometria/Planimetria/Czworokąt/Trapez/Wpisany w okrąg

Zadanie nr 9873135

Dodaj do ulubionych
Dodaj do rozwiązanych

W półkole o promieniu r wpisano trapez równoramienny o krótszej podstawie długości a . Oblicz długość przekątnej trapezu.

PIC

Rozwiązanie

Sposób I

Zauważmy najpierw, że trójkąt ABC jest prostokątny – tak jest, bo kąt ACB jest oparty na średnicy.

PIC

Dorysujmy wysokości DE i CF trapezu. Otrzymaliśmy w ten sposób jeszcze jeden trójkąt prostokątny AF C , który jest podobny do trójkąta ACB (bo oba są prostokątne i mają wspólny kąt przy wierzchołku A ). Z tego podobieństwa mamy

AF AC ----= ---- AC AB ( ) AC 2 = AF ⋅AB = (AE + EF )⋅2r = 2r−-a-+ a ⋅2r 2 ( ) = 2r-+-a ⋅2r = 2r2 + ar 2 ∘ --2----- AC = 2r + ar.

Sposób II

Tym razem skorzystamy z faktu, że wysokość w trójkącie prostokątnym jest średnią geometryczną długości odcinków, na jakie dzieli przeciwprostokątną. Na naszym obrazku oznacza to, że

CF 2 = AF ⋅F B.

Teraz korzystamy z twierdzenia Pitagorasa w trójkącie AF C .

2 2 2 2 AC = A(F + CF =) AF + A(F ⋅F B)= AF (AF + FB ) = 2r − a 2r + a 2 = ---2-- + a ⋅2r = --2--- ⋅ 2r = 2r + ar ∘ -------- AC = 2r2 + ar.

 
Odpowiedź: √ --2----- 2r + ar

Wersja PDF