Zadania.info
Największy internetowy zbiór zadań z matematyki
cornersUpL
cornersUpR

Zadania

Na skróty

Recenzje

Linki sponsorowane

cornersM

Linki sponsorowane

cornersR
Zadanie nr 4644578

W okrąg o średnicy 26 wpisano trapez równoramienny w ten sposób, że suma kwadratów długości jego podstaw jest równa 914, a sinus kąta ostrego wynosi 1123 . Oblicz pole tego trapezu.

Wersja PDF
Rozwiązanie

Rozpoczynamy od szkicowego rysunku.


PIC


Zauważmy, że z podanego sinusa i średnicy okręgu możemy wyliczyć długość przekątnej BD . Stosujemy twierdzenie sinusów w trójkącie ABD .

-BD-- 12- sinα = 2R ⇒ BD = 2R ⋅sin α = 26⋅ 13 = 2 4.

Chcielibyśmy teraz jakoś wykorzystać trójkąt prostokątny AF D . Zanim to jednak zrobimy obliczmy cosα i tgα .

 ∘ -------- ∘ ---- ∘ ---------- 1 44 2 5 5 cosα = 1 − sin2 α = 1 − ---- = ----= --- 1 69 169 13 sinα- -1123 12- tgα = cos α = 5-= 5 . 13

Jeżeli oznaczymy AF = x to mamy

DF 12 ----= tgα ⇒ DF = AF tg α = --x . AF 5

Teraz piszemy twierdzenie Pitagorasa w trójkącie F BD .

 2 2 2 144 2 FB = BD − DF = 57 6− ---x . 2 5

Teraz łatwo się zaciąć, bo nie bardzo widać jak sensownie wykorzystać podaną sumę kwadratów długości podstaw. Nie zrażajmy się jednak, że nie potrafimy ładnie wyliczyć CD = F E – okazuje się, że nie ma to większego znaczenia. Rzeczywiście,

 914 = CD 2 + AB 2 = (F B − x)2 + (FB + x)2 = 2 2 2 2 = FB − 2F B ⋅x + x + FB + 2FB ⋅x + x 914 = 2FB 2 + 2x 2 / : 2 2 2 457 = FB + x 144 2 2 119 2 457 = 576− ----x + x = 576 − ---x 25 25 119x2 = 119 / ⋅ 25-- 25 119 x2 = 25 ⇒ x = 5 .

W takim razie

 12- DF = 5 x = 12 ∘ ------------- FB = 576 − 1-44x2 = √ 5-76−--144 = √ 43-2 = 12√ 3- 25

i pole trapezu jest równe

 -- -- P = (FB-+-x-)+-(F-B-−-x)-⋅DF = FB ⋅DF = 12√ 3⋅ 12 = 144 √ 3. 2

 
Odpowiedź:  √ -- 144 3

Wersja PDF
Twoje uwagi
Nie rozumiesz fragmentu rozwiązania?
W rozwiązaniu jest błąd lub literówka?
Masz inny pomysł na rozwiązanie tego zadania?
Napisz nam o tym!