/Szkoła średnia/Geometria/Planimetria/Czworokąt/Trapez/Wpisany w okrąg/Pole

Zadanie nr 7092986

Na trapezie równoramiennym o podstawach 2 i 6 opisano okrąg. Oblicz pole trapezu, jeśli dłuższa podstawa jest średnicą tego okręgu.

Wersja PDF

Rozwiązanie

Zaczynamy od szkicowego rysunku.

PIC

Sposób I

Jeżeli połączymy środek okręgu O (czyli też środek podstawy AB ) z wierzchołkiem D oraz ze środkiem P podstawy CD to otrzymamy trójkąt prostokątny P DO , w którym znamy długości odcinków: OD = OA = 3 oraz DP = 1DC = 1 2 . Zatem

------------ ∘ 2 2 √ ------ √ -- P O = OD − DP = 9 − 1 = 2 2.

Obliczona długość odcinka P O to dokładnie długość wysokości trapezu, zatem jego pole jest równe

2+ 6 √ -- √ -- P = ------⋅2 2 = 8 2 . 2

Sposób II

Ponieważ AB jest średnicą okręgu, trójkąt ABD jest prostokątny. Znamy długość jego przeciwprostokątnej oraz wiemy na jakie odcinki dzieli ją wysokość opuszczona z wierzchołka D – to powinno pozwolić nam wyliczyć jego wysokość.

Zauważmy, że trójkąty AED i DEB są podobne (bo oba są podobne do trójkąta ABD ). Zatem

AE-- DE-- √ -------- √ -- DE = EB ⇒ DE = AE ⋅EB = 2 2.

Zatem pole trapezu jest równe

√ -- √ -- P = 2+--6-⋅2 2 = 8 2 . 2

 
Odpowiedź: √ -- 8 2

Wersja PDF