Zadania.info
Największy internetowy zbiór zadań z matematyki
cornersUpL
cornersUpR

Zadania

Na skróty

Recenzje

Linki sponsorowane

cornersM

Linki sponsorowane

cornersR
Zadanie nr 9779225

Trapez równoramienny ABCD o ramieniu długości 6 wpisany jest w okrąg, przy czym dłuższa podstawa AB trapezu, o długości 12, jest średnicą tego okręgu. Przekątne AC i BD trapezu przecinają się w punkcie P . Oblicz pole koła wpisanego w trójkąt ABP .

Wersja PDF
Rozwiązanie

Narysujmy opisaną sytuację.


PIC


Ponieważ podstawa AB jest średnicą okręgu, trójkąt ABD jest prostokątny, skąd

 ∘ ------------ ∘ --------- ∘ ------- √ -- BD = AB 2 − AD 2 = 122 − 62 = 6 2 2 − 1 = 6 3.

Obliczmy teraz wysokość DE trójkąta ABD (a więc również wysokość trapezu). Porównujemy dwa wzory na pole (inny sposób to wykorzystać podobieństwo trójkątów AED i ADB ).

1 1 -AB ⋅DE = --AD ⋅DB /⋅ 2 2 2 √ -- 12 ⋅DE = 6 ⋅6√ 3- ⇒ DE = 36---3 = 3√ 3-. 12

Obliczamy teraz długość CD = a drugiej postawy trapezu. Z trójkąta prostokątnego AED mamy

AE 2 + ED 2 = AD 2 2 √ --2 2 (6− 0,5a) + (3 3) = 6 (6− 0,5a)2 = 9 = 3 2 6− 0,5a = 3 0,5a = 3 ⇒ a = 6.

Zauważmy teraz, że trójkąty ABP i CP D są podobne (bo mają równe kąty) oraz znamy skalę ich podobieństwa:  BA- k = CD = 2 . W takim razie

 2 2 √ -- √ -- AP = BP = -DB = --⋅6 3 = 4 3 . 3 3

Łatwo też obliczyć pole trójkąta ABP .

 1 1 2 √ -- √ -- PABP = --AB ⋅PS = --⋅12 ⋅--⋅DE = 4⋅3 3 = 12 3. 2 2 3

Promień r okręgu wpisanego w trójkąt ABP obliczamy korzystając ze wzoru na pole

PABP = pr,

gdzie

 1 √ -- p = --(AB + AP + BP ) = 6 + 4 3 2

jest połową obwodu trójkąta ABP . Mamy zatem

 √ -- √ -- √ -- √ -- √ -- √ -- √ -- r = PABP- = -12--√3--= -√6--3---= 6--3(2--3-−-3)-= 2 3(2 3 − 3) = 12 − 6 3. p 6+ 4 3 2 3+ 3 12− 9

Pole koła jest więc równe

 √ -- √ -- P = πr 2 = π(1 2− 6 3)2 = 36(2 − 3)2π = √ -- √ -- = 36(4 − 4 3 + 3 )π = 3 6(7− 4 3)π .

Sposób II

Zanim zabierzemy się za rachunki przyjrzyjmy się dokładniej sytuacji opisanej w treści zadania. Zauważmy, że każdy z trójkątów ASD i BSC jest równoramienny:

AS = SD = SC = SB = 6

To w połączeniu z długością ramienia trapezu równą 6 oznacza, że każdy z tych dwóch trójkątów jest równoboczny. W takim razie równoboczny jest też trójkąt DSC (bo ∡DSC = 1 80∘ − 60∘ − 60∘ = 60 ∘ oraz SD = SC = 6 ). To oznacza, że dany trapez to połowa sześciokąta foremnego wpisanego w okrąg. Jeżeli oznaczamy przez

 √ -- √ -- h = 6--3-= 3 3 2

długość wysokości w trójkącie równobocznym boku długości 6, to mamy

 1 4 √ -- AP = h + --h = --h = 4 3 3 √ -3 P S = 2-h = 2 3. 3

W takim razie pole i połowa obwodu trójkąta ABP są równe

 √ -- √ -- PABP = 1-⋅AB ⋅PS = 11 2⋅2 3 = 12 3 2 2 1- √ -- p = 2(AB + 2AP ) = 6 + 4 3.

Promień i pole koła wpisanego w trójkąt ABP obliczamy tak samo jak w pierwszym sposobie.  
Odpowiedź:  √ -- 36(7 − 4 3)π

Wersja PDF
Twoje uwagi
Nie rozumiesz fragmentu rozwiązania?
W rozwiązaniu jest błąd lub literówka?
Masz inny pomysł na rozwiązanie tego zadania?
Napisz nam o tym!