/Szkoła średnia/Geometria/Planimetria/Czworokąt/Trapez/Wpisany w okrąg/Oblicz długość...

Zadanie nr 8658883

Trapez ABCD (AB ∥ CD , |AB | > |CD | ) jest wpisany w okrąg o promieniu długości R . Wiadomo że kąt ostry trapezu ma miarę α zaś |∡ACB | = β , gdzie AC jest przekątną trapezu. Oblicz długość a dłuższej podstawy tego trapezu oraz długość h jego wysokości.

Wersja PDF

Rozwiązanie

Zaczynamy od rysunku.

PIC

Na mocy twierdzenia sinusów w trójkącie ABC mamy

a ----- = 2R ⇒ a = 2R sin β. sin β

W tym samym trójkącie mamy

BC BC BC 2R = ---------- = ---------∘----------= ------------- sin ∡BAC sin ∡ (180 − α − β ) sin ∡(α + β ) BC = 2R sin(α + β ).

Patrzymy teraz na trójkąt prostokątny EBC .

-h-- BC = sin α h = BC sin α = 2R sin(α + β )sinα .

 
Odpowiedź: a = 2R sin β , h = 2R sin(α + β) sin α

Wersja PDF