Zadanie nr 1341922
W prostokącie , w którym stosunek długości boków
i
jest równy 4:3, poprowadzono dwusieczne kątów
i
. Dwusieczne te przecinają boki
i
odpowiednio w punktach
i
. Oblicz stosunek pola prostokąta
do pola trójkąta
.
Rozwiązanie
Narysujmy opisaną sytuację.
Musimy jakoś oznaczyć boki prostokąta, żeby uniknąć ułamków najlepiej oznaczyć i
(tak naprawdę możemy nawet wziąć
, bo wielkość prostokąta nie odgrywa w tym zadaniu żadnej roli). Wyliczmy długość przekątnej

Sposób I
Ponieważ proste i
są dwusiecznymi odpowiednich kątów,

Pole trójkąta wyliczymy więc bez trudu ze wzoru z sinusem, o ile tylko będziemy znali długości odcinków
i
. Aby je wyliczyć musimy wyliczyć odcinki
i
. Robimy to z twierdzenia o dwusiecznej

Stąd

Liczymy szukany iloraz pól

Sposób II
Tym razem zamiast liczyć pole trójkąta policzymy jakie jest pole pozostałej części prostokąta, składającej się z trzech trójkątów prostokątnych.
Podobnie jak poprzednio, z twierdzenia o dwusiecznej wyliczamy, że

Jeżeli przez oznaczymy pole prostokąta, to z tych równości wynika, że

Dodając te równości stronami otrzymujemy

Odpowiedź: