Zadanie nr 1341922
W prostokącie , w którym stosunek długości boków
i
jest równy 4:3, poprowadzono dwusieczne kątów
i
. Dwusieczne te przecinają boki
i
odpowiednio w punktach
i
. Oblicz stosunek pola prostokąta
do pola trójkąta
.
Rozwiązanie
Narysujmy opisaną sytuację.
Musimy jakoś oznaczyć boki prostokąta, żeby uniknąć ułamków najlepiej oznaczyć i
(tak naprawdę możemy nawet wziąć
, bo wielkość prostokąta nie odgrywa w tym zadaniu żadnej roli). Wyliczmy długość przekątnej
![∘ ---2------2- DB = AB + AD = 5a .](https://img.zadania.info/zad/1341922/HzadR4x.gif)
Sposób I
Ponieważ proste i
są dwusiecznymi odpowiednich kątów,
![1- ∘ ∡KDM = 2∡ADC = 45 .](https://img.zadania.info/zad/1341922/HzadR7x.gif)
Pole trójkąta wyliczymy więc bez trudu ze wzoru z sinusem, o ile tylko będziemy znali długości odcinków
i
. Aby je wyliczyć musimy wyliczyć odcinki
i
. Robimy to z twierdzenia o dwusiecznej
![DA DB DB DC ---- = ---- ----= ---- AK BK BM CM -3a- = ----5a--- ---5a----= -4a- AK 4a − AK 3a− CM CM 3(4a − AK ) = 5AK 5CM = 4(3a− CM ) AK = 3a CM = 4a. 2 3](https://img.zadania.info/zad/1341922/HzadR13x.gif)
Stąd
![------------ ∘ ---------- √ -- ∘ 2 2 2 9- 2 3--5- DK = AD + AK = 9a + 4 a = 2 a ∘ ------------- ∘ ------------ √ --- DM = CD 2 + CM 2 = 16a 2 + 16a2 = 4--10a. 9 3](https://img.zadania.info/zad/1341922/HzadR14x.gif)
Liczymy szukany iloraz pól
![2 PABCD--= ----√---12a√------√--= 12-. PDKM 1 ⋅ 3-5a⋅ 4-10a⋅ -2- 5 2 2 3 2](https://img.zadania.info/zad/1341922/HzadR15x.gif)
Sposób II
Tym razem zamiast liczyć pole trójkąta policzymy jakie jest pole pozostałej części prostokąta, składającej się z trzech trójkątów prostokątnych.
Podobnie jak poprzednio, z twierdzenia o dwusiecznej wyliczamy, że
![AK = 3-AB 8 5- KB = 8 AB 4 CM = -BC 9 5- MB = 9BC .](https://img.zadania.info/zad/1341922/HzadR17x.gif)
Jeżeli przez oznaczymy pole prostokąta, to z tych równości wynika, że
![1- 3- PAKD = 2 ⋅ 8P 1 5 5 1 2 5 PKBM = -⋅ --⋅-P = --⋅---P 2 8 9 2 7 2 P = 1⋅ 4P = 2P . DMC 2 9 9](https://img.zadania.info/zad/1341922/HzadR19x.gif)
Dodając te równości stronami otrzymujemy
![P − PDKM = 1-⋅ 3-P + 1-⋅ 25P + 1⋅ 4P ( 2 8 ) 2 72 2 9 1- 27-+-25-+-32- 1- 7- -7- = 2 72 P = 2 ⋅ 6P = 12 P P = -5P DKM 12 P 1 2 P----- = -5-. DKM](https://img.zadania.info/zad/1341922/HzadR20x.gif)
Odpowiedź: