Narysujmy opisaną sytuację.
Musimy jakoś oznaczyć boki prostokąta, żeby uniknąć ułamków najlepiej oznaczyć i
(tak naprawdę możemy nawet wziąć
, bo wielkość prostokąta nie odgrywa w tym zadaniu żadnej roli). Wyliczmy długość przekątnej
Sposób I
Ponieważ proste i
są dwusiecznymi odpowiednich kątów,
Pole trójkąta wyliczymy więc bez trudu ze wzoru z sinusem, o ile tylko będziemy znali długości odcinków
i
. Aby je wyliczyć musimy wyliczyć odcinki
i
. Robimy to z twierdzenia o dwusiecznej
Stąd
Liczymy szukany iloraz pól
Sposób II
Tym razem zamiast liczyć pole trójkąta policzymy jakie jest pole pozostałej części prostokąta, składającej się z trzech trójkątów prostokątnych.
Podobnie jak poprzednio, z twierdzenia o dwusiecznej wyliczamy, że
Jeżeli przez oznaczymy pole prostokąta, to z tych równości wynika, że
Dodając te równości stronami otrzymujemy
Odpowiedź: