W prostokącie ABCD, w którym stosunek długości boków AB i BC... Zadania.info: rozwiązanie zadania, Pole, 1341922

Zaloguj się

Informacje

Zadania

Losowe zadanie

Linki sponsorowane

/Szkoła średnia/Geometria/Planimetria/Czworokąt/Prostokąt/Pole

Zadanie nr 1341922

W prostokącie $ABCD$ , w którym stosunek długości boków $AB$ i $BC$ jest równy 4:3, poprowadzono dwusieczne kątów $ADB$ i $BDC$ . Dwusieczne te przecinają boki $AB$ i $CB$ odpowiednio w punktach $K$ i $M$ . Oblicz stosunek pola prostokąta $ABCD$ do pola trójkąta $DKM$ .

Rozwiązanie

Narysujmy opisaną sytuację.

Musimy jakoś oznaczyć boki prostokąta, żeby uniknąć ułamków najlepiej oznaczyć $AD = 3a$ i $AB = 4a$ (tak naprawdę możemy nawet wziąć $a = 1$ , bo wielkość prostokąta nie odgrywa w tym zadaniu żadnej roli). Wyliczmy długość przekątnej

∘ ---2------2- DB = AB + AD = 5a .

Sposób I

Ponieważ proste $DK$ i $DM$ są dwusiecznymi odpowiednich kątów,

1- ∘ ∡KDM = 2∡ADC = 45 .

Pole trójkąta $DKM$ wyliczymy więc bez trudu ze wzoru z sinusem, o ile tylko będziemy znali długości odcinków $DK$ i $DM$ . Aby je wyliczyć musimy wyliczyć odcinki $AK$ i $CM$ . Robimy to z twierdzenia o dwusiecznej

DA DB DB DC ---- = ---- ----= ---- AK BK BM CM -3a- = ----5a--- ---5a----= -4a- AK 4a − AK 3a− CM CM 3(4a − AK ) = 5AK 5CM = 4(3a− CM ) AK = 3a CM = 4a. 2 3

Stąd

------------ ∘ ---------- √ -- ∘ 2 2 2 9- 2 3--5- DK = AD + AK = 9a + 4 a = 2 a ∘ ------------- ∘ ------------ √ --- DM = CD 2 + CM 2 = 16a 2 + 16a2 = 4--10a. 9 3

Liczymy szukany iloraz pól

2 PABCD--= ----√---12a√------√--= 12-. PDKM 1 ⋅ 3-5a⋅ 4-10a⋅ -2- 5 2 2 3 2

Sposób II

Tym razem zamiast liczyć pole trójkąta $DKM$ policzymy jakie jest pole pozostałej części prostokąta, składającej się z trzech trójkątów prostokątnych.