/Szkoła średnia/Geometria/Planimetria/Czworokąt/Prostokąt/Pole

Zadanie nr 2347515

Dany jest prostokąt ABCD , w którym |AB | = a,|BC | = b i a > b . Odcinek AE jest wysokością trójkąta DAB opuszczoną na jego bok BD . Wyraź pole trójkąta AED za pomocą a i b .

Wersja PDF

Rozwiązanie

Rozpoczynamy od rysunku.

PIC

Sposób I

Zauważmy, że trójkąty prostokątne AED i BAD są podobne (bo mają wspólny kąt ADB ). Znamy ponadto ich skalę podobieństwa

k = AD--= √---b----. BD a2 + b2

Ponieważ pole zmienia się jak kwadrat skali podobieństwa, mamy

2 ---b2-- 1- ---ab-3--- PAED = k ⋅PBAD = a2 + b2 ⋅2 ab = 2a 2 + 2b 2.

Sposób II

Liczymy długość przekątnej prostokąta.

∘ ------- BD = a2 + b2.

Zauważmy, że

AE-- AB-- AB-- ----a---- ----ab--- AD = cosα = BD ⇒ AE = AD ⋅BD = b⋅ √a-2 +-b2 = √a-2-+-b2 2 2 DE--= sin α = AD-- ⇒ DE = AD---= √--b-----. AD BD BD a2 + b2

Obliczamy pole trójkąta AED .

2 3 PAED = 1⋅ AE ⋅DE = 1-⋅√---ab--- ⋅√---b-----= ---ab-----. 2 2 a 2 + b2 a2 + b2 2a2 + 2b2

 
Odpowiedź: --ab3-- 2a2+2b2

Wersja PDF