Zadanie nr 4208886
Dany jest prostokąt , w którym
. Na przekątnej
leży punkt
taki, że
oraz
. Oblicz pole prostokąta
.
Rozwiązanie
Oznaczmy ,
oraz
.
Oznaczmy . Wtedy oczywiście
. Piszemy teraz twierdzenia cosinusów w trójkątach
i
.
![{ AD 2 = AE 2 + DE 2 − 2AE ⋅DE cosα 2 2 2 ∘ { AB = AE + BE − 2AE ⋅BE co s(180 − α) 25x2 − 2880 = 1076 + 9x2 − 12x √ 269-cosα √ ---- 2880 = 1 076+ 4x2 + 8x 2 69cos α / : 4 { 2 √ ---- 16x√ -=-39 56− 12x 26 9cos α 2x 269 cos α = 451 − x2.](https://img.zadania.info/zad/4208886/HzadR8x.gif)
Podstawiamy teraz z drugiego równania do pierwszego.
![2 2 16x = 39 56− 6(451 − x ) 10x2 = 12 50 2 √ -- x = 125 ⇒ x = 5 5.](https://img.zadania.info/zad/4208886/HzadR10x.gif)
W takim razie
![∘ ------------ √ ---- √ -- AD = 25x2 − 2880 = 245 = 7 5](https://img.zadania.info/zad/4208886/HzadR11x.gif)
i pole prostokąta jest równe
![√ -- √ -- AB ⋅AD = 24 5 ⋅7 5 = 840 .](https://img.zadania.info/zad/4208886/HzadR12x.gif)
Odpowiedź: 840