Niech P_1 będzie prostokątem o polu S i stosunku długości boków... Zadania.info: rozwiązanie zadania, Pole, 9996658

Zaloguj się

Informacje

Zadania

Losowe zadanie

Linki sponsorowane

/Szkoła średnia/Geometria/Planimetria/Czworokąt/Prostokąt/Pole

Zadanie nr 9996658

Niech $P1$ będzie prostokątem o polu $S$ i stosunku długości boków równym 3:2. Konstruujemy kolejno prostokąty $P2,P3,P 4...$ podobne do prostokąta $P1$ takie, że dłuższy bok kolejnego prostokąta jest równy krótszemu bokowi poprzedniego prostokąta. Oblicz sumę pól prostokątów $P 1,P 2,P3,P4,P5$ .

Rozwiązanie

Szkicujemy opisaną sytuację.

Jeżeli oznaczymy przez $2a$ i $3a$ boki jednego z prostokątów, to kolejny prostokąt ma boki długości $2a$ oraz

2-⋅2a = 4a. 3 3

Stosunek pól dwóch kolejnych prostokątów jest więc równy

4 2a-⋅3a- 4- q = 2a ⋅3a = 9 .

To oznacza, że pola prostokątów $P1,P 2,P 3...$ tworzą ciąg geometryczny $(an)$ o pierwszym wyrazie $a1 = S$ i ilorazie $q = 4 9$ . Suma 5 początkowych wyrazów tego ciągu, to