/Szkoła średnia/Geometria/Planimetria/Czworokąt/Prostokąt/Pole

Zadanie nr 9996658

Niech P1 będzie prostokątem o polu S i stosunku długości boków równym 3:2. Konstruujemy kolejno prostokąty P2,P3,P 4... podobne do prostokąta P1 takie, że dłuższy bok kolejnego prostokąta jest równy krótszemu bokowi poprzedniego prostokąta. Oblicz sumę pól prostokątów P 1,P 2,P3,P4,P5 .

Wersja PDF

Rozwiązanie

Szkicujemy opisaną sytuację.

PIC

Jeżeli oznaczymy przez 2a i 3a boki jednego z prostokątów, to kolejny prostokąt ma boki długości 2a oraz

2-⋅2a = 4a. 3 3

Stosunek pól dwóch kolejnych prostokątów jest więc równy

4 2a-⋅3a- 4- q = 2a ⋅3a = 9 .

To oznacza, że pola prostokątów P1,P 2,P 3... tworzą ciąg geometryczny (an) o pierwszym wyrazie a1 = S i ilorazie q = 4 9 . Suma 5 początkowych wyrazów tego ciągu, to

(4) 5 5 5 1 − q5 1− 9 9-−945- 95 − 45 a1 + ⋅⋅⋅ + a5 = a1 ⋅1-−-q--= S ⋅ ------4--= S ⋅--5---= S⋅ -----4- = 1 − 9 9 5 ⋅9 58-025 11605- = S ⋅ 5⋅9 4 = 656 1 S.

 
Odpowiedź: 116650615S

Wersja PDF