Zadanie nr 9996658
Niech będzie prostokątem o polu
i stosunku długości boków równym 3:2. Konstruujemy kolejno prostokąty
podobne do prostokąta
takie, że dłuższy bok kolejnego prostokąta jest równy krótszemu bokowi poprzedniego prostokąta. Oblicz sumę pól prostokątów
.
Rozwiązanie
Szkicujemy opisaną sytuację.
Jeżeli oznaczymy przez i
boki jednego z prostokątów, to kolejny prostokąt ma boki długości
oraz

Stosunek pól dwóch kolejnych prostokątów jest więc równy

To oznacza, że pola prostokątów tworzą ciąg geometryczny
o pierwszym wyrazie
i ilorazie
. Suma 5 początkowych wyrazów tego ciągu, to

Odpowiedź: