Zadanie nr 2922081

Wykaż, że jeżeli punkt leży na prostej y = −x − 5 , a punkt ma współrzędne

B = (t2,t2 + 6t + 1), dla pewnego t ∈ R,

to długość odcinka jest nie mniejsza niż √- 342- .

Wersja PDF

Rozwiązanie

Trudno wykonać nawet szkicowy rysunek, bo nie wiadomo jak są położone punkty , a więc od razu bierzemy się za rachunki.

Jeżeli B = (t2,t2 + 6t+ 1) to długość odcinka nie może być krótsza niż odległość punktu od podanej prostej y + x + 5 = 0 , a odległość ta jest równa

|t2 + 6t + 1 + t2 + 5| |2t2 + 6t+ 6| |AB | ≥ ---------√-----------= -----√--------= 2 2 -2-- 2 = √ --(t + 3t + 3) 2

(mogliśmy opuścić wartość bezwzględną, bo znajdujący się pod nią trójmian jest zawsze dodatni).

Sposób I

Musimy wykazać nierówność

√ -- 2 3 2 √ -- √---(t2 + 3t + 3) ≥ ----- / ⋅2 2 2 4 4t2 + 12t+ 12 ≥ 3 2 4t + 12t+ 9 ≥ 0 (2t + 3)2 ≥ 0.

Ponieważ przekształcenia były równoważnościami, wyjściowa nierówność również musiała być prawdziwa.

Sposób II

Wykresem funkcji

f (t) = √2-(t2 + 3t+ 3) 2

jest parabola o ramionach skierowanych w górę, więc przyjmuje ono najmniejszą wartość w wierzchołku, czyli dla t = −-3 2 . Wartość ta jest równa

√ -- ( 3 ) 2 ( 9 9 ) 2 9− 1 8+ 12 2 3 3 3 2 f − -- = √--- -− --+ 3 = √--⋅ ------------= √---⋅--= -√---= -----. 2 2 4 2 2 4 2 4 2 2 4

Na koniec obrazek ilustrujący jak naprawdę wygląda cała sytuacja.