/Szkoła średnia/Geometria/Geometria analityczna/Odcinek

Zadanie nr 5539222

Prosta o równaniu y = − 2x + 7 jest symetralną odcinka P Q , gdzie P = (4,5) . Oblicz współrzędne punktu Q .

Wersja PDF

Rozwiązanie

Symetralna odcinka jest do niego prostopadła, więc prosta PQ ma równanie postaci

y = 1x + b. 2

Współczynnik b wyznaczamy podstawiając współrzędne punktu P .

1 5 = --⋅4 + b = 2 + b ⇒ b = 3. 2

Środek S odcinka P Q to punkt wspólny prostej PQ i podanej symetralnej.

PIC

Wyznaczmy jego współrzędne.

{ y = − 2x+ 7 y = 1x + 3 2

Odejmujemy od drugiego równania pierwsze i mamy

1 0 = -x + 2x + 3 − 7 2 4 = 5x ⇒ x = 4 ⋅ 2-= 8. 2 5 5

Stąd

16 19 y = − 2x + 7 = − ---+ 7 = --- 5 5

i (8 19) S = 5, 5 .

Pozostało skorzystać ze wzoru na środek odcinka.

( ) ( ) P-+--Q- 16-3-8 4-13- S = 2 ⇒ Q = 2S − P = 5 , 5 − (4 ,5) = − 5, 5 .

 
Odpowiedź: ( 4 13) Q = − 5,5

Wersja PDF