/Szkoła średnia/Geometria/Geometria analityczna/Odcinek

Zadanie nr 8823317

Odcinek AB o długości 20 jest zawarty w prostej o równaniu 3y + 4x − 5 = 0 . Symetralna odcinka AB przecina oś Ox w punkcie ( ) P = − 40,0 3 . Oblicz współrzędne końców odcinka AB .

Wersja PDF

Rozwiązanie

Szkicujemy opisaną sytuację.

PIC

Rozpocznijmy od napisania symetralnej odcinka AB – mając jej równanie łatwo wyznaczymy środek S odcinka AB . Prosta P S jest prostopadła do danej prostej AB

4- 5- y = − 3 x+ 3,

więc ma równanie postaci y = 3x + b 4 . Współczynnik b wyznaczamy podstawiając współrzędne punktu P .

( ) 3- 40- 0 = 4 ⋅ − 3 + b ⇒ b = 10.

Szukamy teraz punktu wspólnego S symetralnej 3 y = 4x + 10 odcinka AB i prostej AB .

{ 3 y = 4 x+ 10 y = − 4x + 5. 3 3

Odejmujemy od pierwszego równania drugie (żeby skrócić y ) i mamy

3 4 5 0 = --x+ -x + 1 0− -- 4 3 3 − 25-= 25x / ⋅ 12- 3 12 25 2 5 12 x = − -3-⋅ 25-= − 4

Stąd

3- y = 4 x+ 10 = 7

i S = (−4 ,7) . Szukamy teraz punktów ( ) (x,y ) = x,− 43x+ 53 prostej AB , które są odległe od S o 10.

∘ -----------(--------------)2- (x + 4)2 + − 4x + 5-− 7 = 1 0 / ()2 3 3 ( ) 2 2 4- 16- (x + 4) + − 3 x− 3 = 10 0 ( ) 2 (x + 4)2 + 4- (x + 4)2 = 100 3 25 --(x + 4)2 = 100 9 2 -9- (x + 4) = 100 ⋅25 = 36.

Mamy stąd

x+ 4 = 6 lub x + 4 = − 6 x = 2 lub x = − 1 0.

Obliczamy jeszcze odpowiadające tym wartościom y –ki.

y = − 4-x+ 5-= − 8+ 5-= − 1 lub y = − 4x + 5-= 40-+ 5-= 1 5. 3 3 3 3 3 3 3 3

 
Odpowiedź: (2,− 1) i (− 1 0,15)

Wersja PDF