/Szkoła średnia/Geometria/Geometria analityczna/Odcinek

Zadanie nr 9287114

Dodaj do ulubionych
Dodaj do rozwiązanych

Wyznacz współrzędne punktu P , który dzieli odcinek o końcach A = (29,− 15) i B = (45,13) w stosunku |AP | : |PB | = 1 : 3 .

Rozwiązanie

Sposób I

Jeżeli zrobimy obrazek, to łatwo zauważyć, że aby otrzymać punkt P musimy podzielić odcinek AB na 4 części i punkt P to koniec pierwszego odcinka.

PIC

Innymi słowy, musimy wyznaczyć środek S odcinka AB , a punkt P jest środkiem odcinka AS . Liczymy

A + B ( 29 + 4 5 − 15 + 13 ) S = -------= --------,---------- = (37,− 1) 2 ( 2 2 ) A-+--S 29-+-3-7 −-15-−-1- P = 2 = 2 , 2 = (3 3,− 8).

Sposób II

Zadanie łatwo też rozwiązać używając wektorów. Szukany punkt P otrzymamy przesuwając punkt A o 14 wektora −→ AB . Zatem

P = A + 1-−A→B = (29 ,− 1 5)+ 1[16,28] = (29,− 15 )+ [4,7] = (33 ,− 8 ). 4 4

Sposób III

Punkt P = (x,y ) możemy wyznaczyć z równości: −→ −→ PB = 3AP . Liczymy

[{45− x,13 − y] = 3[x − 29,y + 15] 45 − x = 3x− 87 13 − y = 3y+ 45 { 132 = 4x ⇒ x = 33 − 32 = 4y ⇒ y = − 8.

 
Odpowiedź: P = (33,− 8)

Wersja PDF