/Szkoła średnia/Zadania testowe/Funkcje/Z wartością bezwzględną

Zadanie nr 7638676

Dodaj do ulubionych
Dodaj do rozwiązanych

Funkcja 2 2 f(x) = x − |x − 2x | określona dla wszystkich liczb rzeczywistych
A) ma trzy miejsca zerowe. B) jest rosnąca.
C) ma jedno minimum lokalne. D) nie ma ekstremów lokalnych.

Rozwiązanie

Zapiszmy wzór funkcji f bez użycia wartości bezwzględnej.

2 2 2 f(x) = x{ − |x − 2x| = x − |x(x − 2)| = x2 − (x2 − 2x ) dla x ∈ (− ∞ ,0⟩∪ ⟨2,+ ∞ ) = 2 2 x + (x − 2x ) dla x ∈ (0,2) { = 2x dla x ∈ (− ∞ ,0⟩∪ ⟨2 ,+ ∞ ) 2x 2 − 2x dla x ∈ (0,2) { 2x dla x ∈ (− ∞ ,0⟩∪ ⟨2 ,+ ∞ ) = 2x (x − 1) dla x ∈ (0,2).

Widać teraz gołym okiem, że funkcja ta ma dwa miejsca zerowe: x = 0 i x = 1 . Na przedziale (0,2) funkcja jest kawałkiem paraboli o ramionach skierowanych w górę i wierzchołku w x = 1 2 . Nie jest to więc funkcja rosnąca i ma ona minimum w 1 x = 2 .

Na koniec dla ciekawskich wykres funkcji f .

PIC

 
Odpowiedź: C

Wersja PDF