Zadanie nr 5784895

Długości boków prostokąta są równe 3 oraz 5. Oblicz sinus kąta ostrego, który tworzą przekątne tego prostokąta.

Rozwiązanie

Szkicujemy prostokąt.

Korzystając z twierdzenia Pitagorasa obliczamy długość przekątnej prostokąta.

∘ ------------ ∘ ------- √ --- BD = AC = AB 2 + BC 2 = 52 + 3 2 = 34.

Sposób I

Skorzystamy z twierdzenia sinusów w trójkącie BEC . Zanim jednak to zrobimy obliczamy sin β .

sin β = AB--= √-5--. AC 34

Zapisujemy teraz twierdzenie sinusów.

BC---= -BE-- sin α sin β √ 34- -3--- -2-- sin α = √5-- 34 -3--- 34- 17- 5-- 1-5 sin α = 10 = 5 ⇒ sin α = 3⋅ 17 = 1 7.

Sposób II

Interesujący nas sinus kąta między przekątnymi możemy obliczyć korzystając ze wzoru na pole trójkąta z sinusem.

15 = P = 4P = 4⋅ 1-EB ⋅EC sinα = 1BD 2sinα ABCD BEC 2 2 30 15 sin α = ---2-= --. BD 17

Sposób III

Tym razem skorzystamy z tego, że

∘ ∘ ∘ α = 180 − ∡AEB = 180 − (180 − 2 γ) = 2γ .

Mamy zatem

BC AB 15 1 5 sin α = sin 2γ = 2 sin γ cos γ = 2 ⋅----⋅ ----= 2⋅ ---= ---. AC AC 34 1 7

Odpowiedź: 15 17