/Szkoła średnia/Geometria/Planimetria/Czworokąt/Prostokąt/Różne

Zadanie nr 7853107

W prostokącie ABCD , w którym |AB | = 9 , √ -- |AD | = 3 7 , na przekątnej AC wybrano taki punkt E , że |AE | : |EC | = 2 : 1 . Oblicz sinus kąta ∡EBC .

Wersja PDF

Rozwiązanie

Rozpoczynamy od szkicowego rysunku.

PIC

Obliczmy długość przekątnej prostokąta

∘ ------------ √ -------- √ ---- AC = AB 2 + BC 2 = 81+ 63 = 144 = 12.

Zatem

AE = 2-AC = 8 3 1- EC = 3 AC = 4 .

Sposób I

Stosując twierdzenie sinusów w trójkątach EBC i ABE mamy

√ -- -EC--= -BC-- ⇒ -4---= 3--7- sin β sin γ sin β sinγ AE AB 8 9 ------∘------= -------∘------ ⇒ ----- = -----. sin (90 − β) sin(180 − γ ) cos β sin γ

Teraz z obu równości wyliczamy sin γ i porównujemy otrzymane wartości.

√ -- 3--7- 9- 4- 4 sin β = 8 cosβ / ⋅3 √ -- 3 7sinβ = --cos β / ()2 2 7sin2β = 9-cos2β 4 2 9 2 7sin β = 4(1 − sin β) ( ) 7+ 9- sin2 β = 9- 4 4 37 2 9 ---sin β = -- 4 4 sin2β = -9. 37

Zatem 3 3√ 37 sin β = √-37 = -37-- .

Sposób II

Tym razem skorzystamy z twierdzenia cosinusów. Korzystając z tego twierdzenia obliczamy długość odcinka EB .

2 2 2 EB = EC + BC − 2EC ⋅BC c√o-sα = √ -- 3 7 = 16 + 6 3− 2 ⋅4 ⋅3 7 ⋅-----= 79 − 42 = 3 7 √ --- 12 EB = 3 7.

Teraz korzystamy z twierdzenia sinusów w trójkącie EBC .

-EC--= -EB-- sin β sinα √ --- √ --- √ --- --4--= --37- = --37- = 4--3-7 sin β sinα 912- 3 √ --- sinβ = -√4--= √-3--= 3--37-. 4--37- 37 37 3

 
Odpowiedź: 3 3√ 37- √-37 = -37--

Wersja PDF