Zadanie nr 8813467
Długości boków prostokąta są równe 8 oraz 15. Oblicz cosinus kąta rozwartego, który tworzą przekątne tego prostokąta.
Rozwiązanie
Szkicujemy prostokąt.
Korzystając z twierdzenia Pitagorasa obliczamy długość przekątnej prostokąta.
![∘ ------------ ∘ --------- √ ---- AC = AB 2 + BC 2 = 15 2 + 8 2 = 289 = 17 .](https://img.zadania.info/zad/8813467/HzadR1x.gif)
Sposób I
Korzystamy z twierdzenia cosinusów w trójkącie .
![AB 2 = AE 2 + BE 2 − 2AE ⋅BE co sα 2 2 2 AB = 2AE − 2AE cos α ( ) 2 225 = 2 ⋅ 17- (1 − co sα) /⋅ -2-- 2 172 2 225⋅ ----= 1− cosα 289 cos α = 1 − 450- = − 161-. 289 289](https://img.zadania.info/zad/8813467/HzadR3x.gif)
Sposób II
Skorzystamy z twierdzenia sinusów w trójkącie . Zanim jednak to zrobimy obliczamy
.
![BC-- -8- sin γ = AC = 17 .](https://img.zadania.info/zad/8813467/HzadR6x.gif)
Zapisujemy teraz twierdzenie sinusów.
![-AB-- = -BE-- sin α sin γ 17 --15- = 2-- sin α 817 --15- = 289- sin α 16 -16- 240- sin α = 15 ⋅2 89 = 289.](https://img.zadania.info/zad/8813467/HzadR7x.gif)
Pozostało obliczyć – kąt
jest rozwarty, więc jego cosinus jest ujemny.
![∘ ----------- ∘ ------- ∘ ---------- 576 00 25921 161 cosα = − 1 − sin2α = − 1 − ------ = − ------= − ----. 835 21 83521 289](https://img.zadania.info/zad/8813467/HzadR10x.gif)
Sposób III
Sinus kąta między przekątnymi możemy łatwo obliczyć korzystając ze wzoru na pole trójkąta z sinusem.
![1- 1- 2 1 20 = PABCD = 4PABE = 4 ⋅2AE ⋅BE sin α = 2BD sin α 240 240 sinα = --2-= ----. 17 289](https://img.zadania.info/zad/8813467/HzadR11x.gif)
Pozostało obliczyć – kąt
jest rozwarty, więc jego cosinus jest ujemny.
![∘ ---------- ∘ ----------- ∘ ------- cosα = − 1 − sin2α = − 1 − 576-00 = − 25921-= − 161-. 835 21 83521 289](https://img.zadania.info/zad/8813467/HzadR14x.gif)
Sposób IV
Tym razem skorzystamy z tego, że
![α = 180 ∘ − ∡BEC = 180∘ − (180 ∘ − 2 β) = 2β .](https://img.zadania.info/zad/8813467/HzadR15x.gif)
Mamy zatem
![( ) 2 cosα = cos 2β = 2 cos2β − 1 = 2⋅ -BC- − 1 = 2 ⋅ 6-4-− 1 = − 161. AC 289 289](https://img.zadania.info/zad/8813467/HzadR16x.gif)
Odpowiedź: