Zadanie nr 8813467

Długości boków prostokąta są równe 8 oraz 15. Oblicz cosinus kąta rozwartego, który tworzą przekątne tego prostokąta.

Rozwiązanie

Szkicujemy prostokąt.

Korzystając z twierdzenia Pitagorasa obliczamy długość przekątnej prostokąta.

∘ ------------ ∘ --------- √ ---- AC = AB 2 + BC 2 = 15 2 + 8 2 = 289 = 17 .

Sposób I

Korzystamy z twierdzenia cosinusów w trójkącie ABE .

AB 2 = AE 2 + BE 2 − 2AE ⋅BE co sα 2 2 2 AB = 2AE − 2AE cos α ( ) 2 225 = 2 ⋅ 17- (1 − co sα) /⋅ -2-- 2 172 2 225⋅ ----= 1− cosα 289 cos α = 1 − 450- = − 161-. 289 289

Sposób II

Skorzystamy z twierdzenia sinusów w trójkącie ABE . Zanim jednak to zrobimy obliczamy sin γ .

BC-- -8- sin γ = AC = 17 .

Zapisujemy teraz twierdzenie sinusów.

-AB-- = -BE-- sin α sin γ 17 --15- = 2-- sin α 817 --15- = 289- sin α 16 -16- 240- sin α = 15 ⋅2 89 = 289.

Pozostało obliczyć cosα – kąt jest rozwarty, więc jego cosinus jest ujemny.

∘ ----------- ∘ ------- ∘ ---------- 576 00 25921 161 cosα = − 1 − sin2α = − 1 − ------ = − ------= − ----. 835 21 83521 289

Sposób III

Sinus kąta między przekątnymi możemy łatwo obliczyć korzystając ze wzoru na pole trójkąta z sinusem.

1- 1- 2 1 20 = PABCD = 4PABE = 4 ⋅2AE ⋅BE sin α = 2BD sin α 240 240 sinα = --2-= ----. 17 289

Pozostało obliczyć cosα – kąt jest rozwarty, więc jego cosinus jest ujemny.

∘ ---------- ∘ ----------- ∘ ------- cosα = − 1 − sin2α = − 1 − 576-00 = − 25921-= − 161-. 835 21 83521 289

Sposób IV

Tym razem skorzystamy z tego, że

α = 180 ∘ − ∡BEC = 180∘ − (180 ∘ − 2 β) = 2β .

Mamy zatem

( ) 2 cosα = cos 2β = 2 cos2β − 1 = 2⋅ -BC- − 1 = 2 ⋅ 6-4-− 1 = − 161. AC 289 289

Odpowiedź: 161 − 289