/Szkoła średnia/Ciągi/Granice ciągów

Zadanie nr 2721413

Oblicz granicę √ ---2---- √ ---2---- nl→im+∞ n( 2n + 1 − 2n − 1) .

Wersja PDF

Rozwiązanie

Korzystamy ze wzoru 2 2 (a − b)(a + b) = a − b , żeby pozbyć się wyrażenia postaci ∞ − ∞ . Będziemy ponadto korzystać z tego, że √ --- n = n2 (będziemy wciągać n pod pierwiastek).

∘ -------- ∘ -------- lim n( 2n 2 + 1− 2n2 − 1) = n→ +∞ √ -------- √ -------- √ -------- √ -------- n( 2n 2 + 1 − 2n 2 − 1)( 2n2 + 1 + 2n2 − 1) = lim -------------√-----------√-----------------------= n→ + ∞ ( 2n 2 + 1+ 2n2 − 1) n (2n2 + 1− 2n2 + 1) 2n = lim √-----------√---------= lim √-----------√--------- = n→ + ∞ 2n2 + 1 + 2n 2 − 1 n→ +∞ 2n 2 + 1+ 2n 2 − 1 ---------2---------- -1-- = n→lim+ ∞ ∘ -----1- ∘ -----1- = √ --. 2 + n2 + 2 − n2 2

 
Odpowiedź: √12

Wersja PDF