/Szkoła średnia/Ciągi/Granice ciągów

Zadanie nr 2864408

Ciąg (an) jest określony dla każdej liczby naturalnej n ≥ 1 wzorem

3 an = (7p-−-1)n--+-5pn-−--3, (p + 1)n 3 + n 2 + p

gdzie p jest liczbą rzeczywistą dodatnią. Oblicz wartość p , dla której granica ciągu (an) jest równa 4 3 .

Wersja PDF

Rozwiązanie

Spróbujmy obliczyć granicę ciągu an – dzielimy licznik i mianownik przez n 3 .

5p 3 (7p-−-1)n-3 +-5pn-−-3- (7p-−-1)-+-n2-−-n3- 7p-−-1- nl→im+ ∞ (p + 1)n 3 + n2 + p = nli→m+ ∞ (p + 1) + 1 + -p = p+ 1 . n n3

Mamy zatem równanie

7p-−--1 4- p + 1 = 3 21p − 3 = 4p + 4 7-- 17p = 7 ⇒ p = 17.

 
Odpowiedź: p = 7- 17

Wersja PDF