/Szkoła średnia/Ciągi/Granice ciągów

Zadanie nr 5703573

Oblicz granicę ---------1-------- nl→im+∞ √n-4+-3n+7−√n-4−3n2 .

Wersja PDF

Rozwiązanie

Korzystamy ze wzoru 2 2 (a − b)(a + b) = a − b , żeby pozbyć się wyrażenia postaci ∞ − ∞ . Będziemy ponadto korzystać z tego, że √ --- n2 = n4 (będziemy wciągać n2 pod pierwiastek).
Liczymy

1 n→lim+ ∞ √--4------------√--4------2 = n + 3n + 7 − n√ -−-3n------- √ --------- -----------------n4-+-3n-+-7-+---n-4 −-3n-2--------------- = nl→im+∞ √ -4---------- √ -4-----2- √ --4--------- √ -4-----2- = (√ -n-+--3n-+-7− √ -n--−-3n-)( √n--+-3n-+--7+ √ n-−--3n-) n4 + 3n + 7+ n4 − 3n2 n4 + 3n + 7 + n 4 − 3n 2 = nl→im+∞ ---4-------------4-----2---= ----------2---------------- = ∘ n-+--3n-+-7− n∘ -+-3n-- 3n + 3n + 7 1+ 33 + 74 + 1 − -32 = lim ------n----n----------n--= 2- n→ +∞ 3+ 3n + n72 3

 
Odpowiedź: 23

Wersja PDF