/Szkoła średnia/Ciągi/Granice ciągów

Zadanie nr 7916461

Oblicz granicę √ -4---------- √ -4-----2- nl→im+∞ ( n + 2n + 5− n − 2n ) .

Wersja PDF

Rozwiązanie

Korzystamy ze wzoru 2 2 (a − b)(a + b) = a − b , żeby pozbyć się wyrażenia postaci ∞ − ∞ . Będziemy ponadto korzystać z tego, że √ --- n2 = n4 (będziemy wciągać n2 pod pierwiastek).
Liczymy

( ) ∘ --4--------- ∘ -4-----2- n→lim+ ∞ n + 2n + 5− n − 2n = √ -4---------- √ -4-----2- √ --4--------- √ -4-----2- = lim (--n-+--2n-+-5−√---n--−-2n-)(--n√--+-2n-+--5+----n-−--2n-)-= n→ +∞ n4 + 2n + 5 + n 4 − 2n 2 4 4 2 2 = lim √-n-+--2n-+-5−--n√--+-2n----= √------2n--+-2n-+√--5------- = n→ +∞ n4 + 2n + 5+ n4 − 2n2 n4 + 2n + 5 + n 4 − 2n 2 2+ 2 + -5 = lim ∘----------n---n2∘--------= 2-= 1. n→ +∞ 1+ 2-+ 5-+ 1 − -2 2 n3 n4 n2

 
Odpowiedź: 1

Wersja PDF