/Szkoła średnia/Funkcje - wykresy/Styczna do wykresu

Zadanie nr 2483343

Dana jest funkcja x4+16 f (x ) = x2+ 4 określona dla x ∈ R . Wyznacz równania stycznych do wykresu funkcji y = f (x) w punktach o rzędnej y = 4 .

Wersja PDF

Rozwiązanie

Sprawdźmy najpierw w jakich punktach funkcja f przyjmuje wartość 4.

4 x--+-16-= 4 x 2 + 4 x4 + 16 = 4x2 + 16 0 = x4 − 4x2 = x2(x2 − 4) = x2(x − 2)(x + 2).

Są więc trzy takie punkty: (− 2,4) , (0,4) i (2,4) . Liczymy pochodną

′ 4x3(x2-+-4)-−-(x4-+-16)-⋅2x- 2x5-+-16x-3 −-3-2x f (x) = (x2 + 4)2 = (x2 + 4)2 .

Liczymy wartość pochodnej w interesujących nas punktach

′ − 64 − 128 + 6 4 f (− 2) = ---------------- = − 2 ′ 64 f (0) = 0 ′ 64 + 12 8− 6 4 f (2) = ------64------ = 2.

Szukane styczne mają więc kolejno równania

y = − 2(x + 2 )+ 4 = − 2x y = 0x + 4 = 4 y = 2(x − 2)+ 4 = 2x.

Na koniec ilustracja całej sytuacji.

PIC

 
Odpowiedź: y = −2x , y = 4 , y = 2x

Wersja PDF