/Szkoła średnia/Funkcje - wykresy/Styczna do wykresu

Zadanie nr 2734711

Prostą o równaniu y = 0,25x przesunięto o wektor postaci [1,m ] w taki sposób, że przesunięta prosta jest styczna do wykresu funkcji 2 y = 1−x2- x . Oblicz wartość m .

Wersja PDF

Rozwiązanie

Ponieważ interesuje nas styczna do wykresu funkcji

2 f(x) = 1−-x---= -1-− 1, x2 x 2

liczymy jej pochodną

2 f′(x ) = (x− 2)′ = − 2x −3 = −--3. x

Sprawdźmy w jakim punkcie pochodna ma taką samą wartość jak współczynnik kierunkowy danej prostej.

1 2 --= − -3- 4 x x3 = − 8 ⇒ x = − 2.

To oznacza, że jedyna prosta styczna do wykresu funkcji f równoległa do danej prostej to prosta przechodząca przez punkt

( ) 3- (− 2,f (−2 )) = − 2 ,− 4 .

Z drugiej strony, jeżeli przesuniemy prostą y = 0,25x o wektor [1,m] , to otrzymamy prostą

y = 0,25(x − 1) + m .

Pozostało sprawdzić, kiedy prosta tej postaci przechodzi przez punkt ( ) − 2,− 3 4 .

3- 1- 3- 3- − 4 = 4(− 2 − 1) + m ⇒ m = − 4 + 4 = 0.

Na koniec wykres dla ciekawskich.

PIC

 
Odpowiedź: m = 0

Wersja PDF