/Szkoła średnia/Funkcje - wykresy/Styczna do wykresu

Zadanie nr 3869137

Dodaj do ulubionych
Dodaj do rozwiązanych

Funkcja f jest określona wzorem

3 f (x ) = x--−-3x-+-2- x

dla każdej liczby rzeczywistej x różnej od zera. W kartezjańskim układzie współrzędnych (x ,y) punkt P , o pierwszej współrzędnej równej 2, należy do wykresu funkcji f . Prosta o równaniu y = ax + b jest styczna do wykresu funkcji f w punkcie P . Oblicz współczynniki a oraz b w równaniu tej stycznej.

Rozwiązanie

Będziemy korzystać z tego, że współczynnik kierunkowy stycznej do wykresu funkcji f w punkcie x0 jest równy pochodnej f′(x0) w tym punkcie. Można też od razu skorzystać ze wzoru na styczną

y = f′(x )(x− x )+ f(x ). 0 0 0

Liczymy pochodną

( 3 ) ′ ( ) ′ f ′(x ) = x-−--3x+--2- = x2 − 3+ 2- = 2x − -2- x x x2 1 7 f ′(2 ) = 4− --= -- 2 2

Zatem styczna jest postaci y = 7x + b 2 . Współczynnik b obliczamy z tego, że ma ona przechodzić przez punkt

( ) (2,f (2 )) = 2, 8−-6+--2- = (2,2). 2

Mamy więc

7- 2 = 2 ⋅2 + b ⇒ b = − 5.

Na koniec obrazek dla ciekawskich.

ZINFO-FIGURE

 
Odpowiedź: a = 72, b = −5

Wersja PDF