/Szkoła średnia/Funkcje - wykresy/Styczna do wykresu

Zadanie nr 5698236

Dodaj do ulubionych
Dodaj do rozwiązanych

Wyznacz wszystkie proste, które są jednocześnie styczne do paraboli 2 y = x oraz okręgu o równaniu x2 + (y + 2)2 = 4 .

Rozwiązanie

Szkicujemy opisaną sytuację

PIC

Wyznaczmy najpierw ogólną postać stycznej do danej paraboli w punkcie (a,f (a)) = (a,a2) . Liczymy pochodną

f′(x) = 2x

styczna do paraboli w punkcie (a,a2) ma więc współczynnik kierunkowy równy 2a , czyli jest postaci

y = 2ax + b .

Współczynnik b wyznaczamy podstawiając współrzędne punktu 2 (a,a ) .

2 2 2 a = 2a + b ⇒ b = −a .

Styczna ma więc postać 2 y = 2ax − a . Jeżeli styczna ta ma być styczna do danego okręgu o środku O = (0,− 2) i promieniu r = 2 , to środek okręgu O musi być odległy od tej prostej o r = 2 . Korzystamy ze wzoru na odległość punktu P = (x0,y0) od prostej Ax + By + C = 0 :

|Ax-0-+-By-0 +-C|- √A--2 +-B-2 .

W naszej sytuacji mamy więc równanie

2 √|2−--a-|-= 2 4a 2 + 1 2 ∘ --2----- 2 |2− a | = 2 4a + 1 /() 4 − 4a2 + a4 = 16a 2 + 4 a4 − 20a2 = 0 2 2 a (a − 2√0)-= 0 √ -- a2(a − 2 5)(a + 2 5) = 0.

Otrzymujemy stąd trzy proste, które są jednocześnie styczne do danej paraboli i okręgu.

y = 0 √ -- √ -- √ -- y = 2⋅ 2 5x − (2 5)2 = 4 5x− 20 √ -- √ --2 √ -- y = 2⋅ (− 2 5)x − (2 5) = − 4 5x − 20.

 
Odpowiedź: y = 0 , √ -- y = 4 5x− 20 , √ -- y = − 4 5x − 20

Wersja PDF