/Szkoła średnia/Funkcje - wykresy/Styczna do wykresu

Zadanie nr 7691699

Dodaj do ulubionych
Dodaj do rozwiązanych

Funkcja f określona jest wzorem 2 f(x ) = − 2x + 3x + 1 dla każdej liczby rzeczywistej x . Wyznacz równania tych stycznych do wykresu funkcji f , które przechodzą przez punkt (− 2,5) .

Rozwiązanie

Musimy sprawdzić w jakim punkcie styczna do wykresu y = f(x) jest prostą przechodzącą przez punkt (−2 ,5) . Zacznijmy od wyznaczenia ogólnej postaci stycznej do danej paraboli w punkcie (a,f (a)) = (a,− 2a2 + 3a+ 1) . Liczymy pochodną.

f ′(x ) = − 4x+ 3.

Styczna do paraboli w punkcie (a,f(a)) ma więc współczynnik kierunkowy równy − 4a + 3 , czyli jest to prosta o równaniu

y = f′(a)(x− a)+ f(a) y = (− 4a+ 3)(x − a)− 2a2 + 3a+ 1.

Sprawdzamy teraz kiedy styczna przechodzi przez dany punkt (− 2,5 ) .

5 = (− 4a + 3)(− 2 − a) − 2a2 + 3a + 1 2 2 0 = 8a + 4a − 6 − 3a − 2a + 3a − 4 0 = 2a2 + 8a − 10 / : 2 0 = a2 + 4a − 5

Rozwiązujemy otrzymane równanie kwadratowe

Δ = 16 + 20 = 36 a = −-4-−-6 = − 5 lub a = −-4-+-6 = 1. 2 2

Styczne mają wtedy odpowiednio równania

y = 2 3(x+ 5)− 50− 15 + 1 = 23x + 51 y = − (x − 1 )− 2 + 3 + 1 = −x + 3.

Na koniec rysunek dla ciekawskich.

PIC

 
Odpowiedź: y = 23x + 51 i y = −x + 3

Wersja PDF