/Szkoła średnia/Funkcje - wykresy/Styczna do wykresu

Zadanie nr 7842946

Znajdź równanie stycznej do wykresu funkcji 1 4 5 3 2 f(x) = − 2x + 3x − 5x + 11x + 12 , która jest równoległa do prostej o równaniu 4x − y + 7 = 0 .

Rozwiązanie

Musimy sprawdzić w jakim punkcie styczna do wykresu f(x ) ma współczynnik kierunkowy równy 4. To pytanie to dokładnie pytanie, w jakim punkcie pochodna przyjmuje wartość 4. Liczymy

f ′(x ) = − 2x3 + 5x2 − 10x + 11 3 2 − 2x + 5x − 1 0x+ 11 = 4 − 2x 3 + 5x 2 − 1 0x+ 7 = 0.

Szukamy teraz pierwiastków wymiernych otrzymanego równania. Łatwo sprawdzić, że jednym z nich jest x = 1 . Dzielimy teraz lewą stronę przez (x − 1) . My zrobimy to grupując wyrazy.

3 2 3 2 2 − 2x + 5x − 10x + 7 = (−2x + 2x )+ (3x − 3x) − 7x + 7 = = − 2x2(x − 1) + 3x (x− 1)− 7(x− 1) = − (x − 1)(2x2 − 3x + 7 ).

Ponieważ trójmian kwadratowy w drugim nawiasie nie ma pierwiastków (bo ma ujemną -ę), więc jedynym rozwiązaniem równania f ′(x) = 4 jest x = 1 . Mamy ponadto