Zadania.info
Największy internetowy zbiór zadań z matematyki
cornersUpL
cornersUpR

Zadania

Na skróty

Recenzje

Linki sponsorowane

cornersM

Linki sponsorowane

cornersR
Zadanie nr 5404267

Objętość graniastosłupa prawidłowego czworokątnego jest równa  3 27 cm , Pole powierzchni całkowitej graniastosłupa jest funkcją długości jego krawędzi podstawy. Napisz wzór tej funkcji i wyznacz jej przedziały monotoniczności.

Wersja PDF
Rozwiązanie

Jeżeli oznaczymy długość krawędzi podstawy graniastosłupa przez a , a jego wysokość przez H to mamy równanie

a2H = 27 ⇒ H = 27. a2

PIC


Liczymy teraz pole powierzchni całkowitej

Pc = 2a2 + 4aH = 2a 2 + 4⋅27-. a

Oznaczmy to wyrażenie przez f(a) . Aby wyznaczyć przedziały monotoniczności funkcji f , liczymy jej pochodną

 3 2 f ′(a) = 4a− 4⋅-27-= 4 ⋅ a-−-27-= 4⋅ (a−--3)(a-+--3a+--9). a2 a2 a2

Ponieważ a2 + 3a + 9 > 0 mamy f′(a ) > 0 dla a > 3 i f′(a) < 0 dla a ∈ (0,3) . Zatem funkcja f jest na tych przedziałach odpowiednio rosnąca i malejąca.  
Odpowiedź: Pc = 2a 2 + 4⋅2a7- , rosnąca dla a ∈ ⟨3,+ ∞ ) , malejąca dla a ∈ (0,3⟩

Wersja PDF
Twoje uwagi
Nie rozumiesz fragmentu rozwiązania?
W rozwiązaniu jest błąd lub literówka?
Masz inny pomysł na rozwiązanie tego zadania?
Napisz nam o tym!