Zadania.info
Największy internetowy zbiór zadań z matematyki
cornersUpL
cornersUpR

Zadania

Na skróty

Recenzje

Linki sponsorowane

cornersM

Linki sponsorowane

cornersR
Zadanie nr 1337103

Oblicz granicę

 ( 2n 2n+1 ) lim √4--+ 8-+ -1√6--+ 32-+ ⋅ ⋅⋅+ ----2--√--+ 2----- . n→+ ∞ 5 5 5 5 25 5n −1 ⋅ 5 5n
Wersja PDF
Rozwiązanie

Sposób I

Zauważmy, że wyrażenie w nawiasie jest sumą n początkowych wyrazów ciągu geometrycznego o pierwszym wyrazie a1 = √45 i ilorazie q = 2√5- . W takim razie interesująca nas granica to suma wszystkich wyrazów ciągu (a ) n , czyli jest ona równa

 √4- √ -- -- -a-1--= ---5---= √--4----= -√--4(--5-+√-2)-----= 4 √ 5+ 8. 1 − q 1− √2- 5 − 2 ( 5− 2)( 5 + 2) 5

Sposób II

Zauważmy, że

 ( ) -4-- 8- -16-- 32- ---2-2n----- 22n+1- nli→m+ ∞ √ 5 + 5 + 5√ 5 + 25 + ⋅ ⋅⋅+ 5n− 1 ⋅√ 5 + 5n = ( √ -- √ -- √ -- ) 4--5+--8- 16--5-+-3-2 22n--5+--22n+1- = n→lim+ ∞ 5 + 25 + ⋅⋅⋅+ 5n = ( ) √ -- 4- 16- 22n- = ( 5 + 2) nl→im+∞ 5 + 25 + ⋅⋅⋅+ 5n

Widać teraz, że mamy do czynienia z sumą wszystkich wyrazów ciągu geometrycznego (an) , w którym a 1 = q = 45 . Suma wszystkich wyrazów ciągu (an) jest równa

--a1-- --45--- --4--- 1 − q = 4 = 5− 4 = 4. 1− 5

Interesująca nas granica jest więc równa

 √ -- √ -- ( 5 + 2) ⋅4 = 4 5 + 8.

 
Odpowiedź:  √ -- 4 5 + 8

Wersja PDF
Twoje uwagi
Nie rozumiesz fragmentu rozwiązania?
W rozwiązaniu jest błąd lub literówka?
Masz inny pomysł na rozwiązanie tego zadania?
Napisz nam o tym!