/Szkoła średnia/Ciągi/Granice ciągów/Z kropkami

Zadanie nr 2314217

Oblicz granicę

n n−1 n−2 2 n− 1 n lim 4-+--4----⋅3+--4----⋅3-+--⋅⋅⋅+--4⋅3----+--3-. n→ + ∞ 4n
Wersja PDF

Rozwiązanie

Jeżeli daną granicę zapiszemy w postaci

n n−1 n− 2 2 n−1 n lim 4--+-4----⋅3-+-4----⋅3--+-⋅⋅⋅+--4⋅3----+--3--= n→ + ∞ ( 4n ) 4n 4n−1 ⋅3 4n −2 ⋅ 32 4⋅3n− 1 3n = lim --n + ----n---+ -----n---+ ⋅⋅⋅+ ---n----+ -n- = n→ + ∞( 4 4( ) 4 ( ) ( 4 ) ) 4 3 3 2 3 n− 1 3 n = lim 1 + --+ -- + ⋅ ⋅⋅+ -- + -- , n→ + ∞ 4 4 4 4

to widać, ze musimy obliczyć sumę szeregu geometrycznego o pierwszym wyrazie a1 = 1 i ilorazie 3 q = 4 . Suma ta jest równa

a1 1 1 S = ------= ----3-= 1-= 4. 1 − q 1 − 4 4

 
Odpowiedź: 4

Wersja PDF