/Szkoła średnia/Ciągi/Granice ciągów/Z kropkami

Zadanie nr 9878426

Dodaj do ulubionych
Dodaj do rozwiązanych

Oblicz granicę

( 1 1 1 1 1 1) lim √---− --+ -√---− --+ ⋅ ⋅⋅+ -------√--− -n- . n→ +∞ 3 3 3 3 9 3n −1 ⋅ 3 3

Rozwiązanie

Sposób I

Zauważmy, że wyrażenie w nawiasie jest sumą n początkowych wyrazów ciągu geometrycznego o pierwszym wyrazie a1 = √13 i ilorazie q = − √13 . W takim razie interesująca nas granica to suma wszystkich wyrazów ciągu (a ) n , czyli jest ona równa

√1- √ -- √ -- --a1--= ----3-- = ---1√---= -√------3−√-1------= --3-−-1. 1 − q 1 + √1- 1 + 3 ( 3 + 1)( 3 − 1) 2 3

Sposób II

Zauważmy, że

( ) lim √1--− 1-+ -√1--− 1-+ ⋅⋅⋅+ ----1-√---− -1- = n→ +∞ 3 3 3 3 9 3n−1 ⋅ 3 3n ( √ -- √ -- √ -- ) = lim --3-−-1-+ --3−--1+ ⋅⋅⋅+ --3−--1- . n→ +∞ 3 9 3n

Widać teraz, że mamy do czynienia z sumą wszystkich wyrazów ciągu geometrycznego (an) , w którym √- a 1 = -3−3-1 i q = 13 . Suma wszystkich wyrazów ciągu (an) jest równa

√ - √ -- a1 --3−1 3 − 1 ------= --3-1-= -------. 1 − q 1 − 3 2

 
Odpowiedź: √ - --3−1 2

Wersja PDF