Zadanie nr 1313312
Funkcje i
są określone wzorami:
i
dla każdej liczby rzeczywistej
. Wykaż, że
.
Rozwiązanie
Sposób I
Mamy wykazać, że
![′ ′ ′ ′ ′ f (x) = g (x) ⇐ ⇒ f (x )− g (x) = 0 ⇐ ⇒ (f(x )− g (x)) = 0.](https://img.zadania.info/zad/1313312/HzadR0x.gif)
Wystarczy zatem pokazać, że jest funkcją stałą. Sprawdzamy
![4x8 + 9x 4 + 1 4x8 + 8x4 − 1 x4 + 2 f(x) − g(x ) = -----4--------− -----4--------= -4-----= 1 . x + 2 x + 2 x + 2](https://img.zadania.info/zad/1313312/HzadR2x.gif)
Sposób II
Przekształćmy wzory obu funkcji tak, aby pozbyć się i
z liczników.
![4x 8 + 9x 4 + 1 4x 4(x4 + 2)+ (x4 + 2)− 1 1 f (x) = --------------= ---------------------------= 4x4 + 1 − ------- x4 + 2 x 4 + 2 x 4 + 2 4x 8 + 8x 4 − 1 4x 4(x4 + 2)− 1 4 1 g (x) = -----4--------= ------4--------- = 4x − --4----. x + 2 x + 2 x + 2](https://img.zadania.info/zad/1313312/HzadR5x.gif)
Widać teraz, że , więc
![f′(x) = (g(x )+ 1 )′ = g ′(x ).](https://img.zadania.info/zad/1313312/HzadR7x.gif)
Sposób III
Liczymy pochodną funkcji .
![7 3 4 8 4 3 f′(x) = (3-2x-+--36x-)(x--+-2)-−-(4x--+-9x--+-1)-⋅4x-- (x 4 + 2 )2 3 2x11 + 64x7 + 36x7 + 72x 3 − 1 6x11 − 36x7 − 4x3 16x11 + 64x 7 + 68x 3 = ------------------------------------------------- = --------------------. (x 4 + 2)2 (x 4 + 2)2](https://img.zadania.info/zad/1313312/HzadR9x.gif)
Teraz obliczamy pochodną funkcji .
![(32x 7 + 32x3)(x4 + 2) − (4x8 + 8x 4 − 1) ⋅4x3 g′(x) = ----------------------------------------------= (x 4 + 2)2 32x 11 + 6 4x7 + 32x7 + 64x 3 − 1 6x11 − 32x7 + 4x3 16x11 + 64x 7 + 68x 3 = ----------------------4-----2-------------------- = --------4----2------. (x + 2) (x + 2)](https://img.zadania.info/zad/1313312/HzadR11x.gif)
Widać teraz, że rzeczywiście .