/Szkoła średnia/Funkcje/Wielomiany/Przebieg zmienności

Zadanie nr 7390508

Wyznacz maksymalne przedziały monotoniczności funkcji 3 f (x) = (x − 2) − 3x .

Rozwiązanie

Aby znaleźć przedziały monotoniczności liczymy pochodną funkcji

3 3 2 3 2 f (x) = (x − 2) − 3x = x − 6x + 12x − 8 − 3x = x − 6x + 9x − 8.

i szukamy jej miejsc zerowych.

f′(x) = 3x 2 − 12x + 9 = 3(x 2 − 4x + 3) Δ = 16 − 12 = 4 4−--2- 4-+-2- x1 = 2 = 1, x2 = 2 = 3.

Ponieważ pochodna jest dodatnia na przedziałach (− ∞ ,1) i (3,+ ∞ ) oraz ujemna na przedziale (1,3) , funkcja jest na tych zbiorach odpowiednio rosnąca i malejąca. Aby otrzymać maksymalne przedziały monotoniczności dodajemy też końce przedziałów.