Zadanie nr 9737289
Funkcja jest określona wzorem
dla każdej liczby dodatniej .
-
Wykaż, że dla każdej liczby dodatniej wzór funkcji można równoważnie przekształcić do postaci .
-
Oblicz najmniejszą wartość funkcji określonej dla każdej liczby dodatniej .
Rozwiązanie
-
Zauważmy, że
Zatem faktycznie
-
Liczymy pochodną funkcji
Widać gołym okiem, że jednym z pierwiastków wyrażenia w nawiasie jest . Dzielimy więc ten wielomian przez .
Mamy zatem
i trójmian w nawiasie nie ma już pierwiastków, bo . Widzimy więc, że pochodna jest dodatnia dla i ujemna dla . W takim razie funkcja rośnie w przedziale i maleje w przedziale . W takim razie najmniejsza wartość funkcji to
Na koniec wykres dla ciekawskich.
Odpowiedź: