Wyznacz wartość największą i najmniejszą funkcji y=-frac{1}{2}x^{4}+x^{2}+1... Zadania.info: rozwiązanie zadania, Ekstrema, 4780962

Zaloguj się

Informacje

Zadania

Losowe zadanie

Linki sponsorowane

/Szkoła średnia/Funkcje/Wielomiany/Przebieg zmienności/Ekstrema

Zadanie nr 4780962

Wyznacz wartość największą i najmniejszą funkcji $1 4 2 y = − 2 x + x + 1$ w przedziale $⟨− 1;6 ⟩$ .

Rozwiązanie

Sposób I

Jest to funkcja dwukwadratowa, więc podstawiamy $2 t = x$ , ze względu na przedział zmienności $x$ , $t$ zmienia się w przedziale $⟨0,36 ⟩$ . Szukamy zatem wartości paraboli

f(t) = − 1-t2 + t + 1 2

w przedziale $⟨0 ,36⟩$ . Wierzchołek tej paraboli jest w punkcie

xw = −b--= 1. 2a

Zatem w tym punkcie jest przyjmowana wartość największa

1 3 f(1) = − -+ 1+ 1 = --. 2 2

Wartość najmniejsza jest przyjmowana w jednym z końców przedziału, sprawdźmy w którym.

f(0) = 1 f(36) = − 1-⋅3 62 + 3 6+ 1 = − 648 + 37 = − 6 11. 2

Sposób II

Zadanie możemy też rozwiązać pochodnymi.

′ 3 2 f(x ) = − 2x + 2x = −2x (x − 1) = − 2x(x − 1)(x+ 1).

Widać zatem, że funkcja rośnie na przedziałach $(− ∞ ,− 1⟩$ i $⟨0,1 ⟩$ (pochodna dodatnia) oraz maleje na przedziałąch $⟨− 1,0 ⟩$ i $⟨1 ,+∞ )$ (pochodna jest ujemna). Żeby się nie pogubić wygodnie naszkicować sobie schematyczny wykres funkcji $f$ .