/Szkoła średnia/Funkcje/Wielomiany/Przebieg zmienności/Ekstrema

Zadanie nr 7812277

Wyznacz wszystkie wartości parametru m , dla których funkcja g (x ) = 2x3 − 3x2 + mx + 3 ma ekstremum lokalne równe 10.

Wersja PDF

Rozwiązanie

Liczymy pochodną danej funkcji.

′ 2 f (x) = 6x − 6x + m.

Jeżeli x jest punktem, w którym funkcja ma ekstremum równe 10, to f (x) = 10 i f′(x) = 0 . Otrzymujemy więc układ równań

{ 2x 3 − 3x 2 + mx + 3 = 10 6x 2 − 6x + m = 0

Odejmujemy od pierwszego równania drugie pomnożone przez x i mamy

3 2 3 2 2x − 3x + mx + 3− 6x + 6x − mx = 10 − 4x 3 + 3x 2 − 7 = 0 / : (− 1) 4x 3 − 3x2 + 7 = 0.

Łatwo zauważyć, że jednym z pierwiastków tego równania jest x = − 1 . Dzielimy więc wielomian z lewej strony przez (x+ 1) . My zrobimy to grupując wyrazy.

3 2 3 2 2 4x − 3x + 7 = (4x + 4x )− (7x + 7x) + (7x + 7) = = 4x 2(x+ 1)− 7x(x + 1) + 7(x + 1) = (4x2 − 7x + 7)(x + 1).

Trójmian w nawiasie nie ma pierwiastków (bo Δ < 0 ), więc jedynym rozwiązaniem tego równania jest x = 1 . Mamy wtedy

m = − 6x2 + 6x = − 6− 6 = − 12.

Łatwo sprawdzić, że dla tej wartości m funkcja f rzeczywiście ma dla argumentu x = − 1 maksimum lokalne równe 10.

PIC

 
Odpowiedź: m = − 12

Wersja PDF