Zadanie nr 4591081
Wyznacz przedziały monotoniczności funkcji .
Rozwiązanie
Aby wyznaczyć przedziały monotoniczności liczymy pochodną.
![′ 3 2 3 2 f (x) = 36x + 6 6x − 24x − 24 = 6(6x + 11x − 4x − 4 ).](https://img.zadania.info/zad/4591081/HzadR0x.gif)
Szukamy teraz miejsc zerowych pochodnej – sprawdzamy najpierw dzielniki wyrazu wolnego, czyli liczby: . Gdy to zrobimy okaże się, że jednym z pierwiastków pochodnej jest
. Dzielimy teraz wielomian w nawiasie przez
– można to zrobić na różne sposoby, my zrobimy to grupując wyrazy.
![3 2 3 2 2 6x + 1 1x − 4x − 4 = (6x + 1 2x )− (x + 2x)− (2x + 4) = = 6x 2(x+ 2)− x(x + 2) − 2(x + 2) = (x + 2)(6x2 − x− 2).](https://img.zadania.info/zad/4591081/HzadR4x.gif)
Rozkładamy teraz trójmian w nawiasie.
![2 6x − x − 2 = 0 Δ = 1+ 48 = 49 x = 1−--7-= − 1- lub x = 1-+-7-= 2. 12 2 12 3](https://img.zadania.info/zad/4591081/HzadR5x.gif)
W takim razie
![( 1 ) ( 2) f′(x) = 3 6(x+ 2) x + -- x − -- . 2 3](https://img.zadania.info/zad/4591081/HzadR6x.gif)
To oznacza, że pochodna jest dodatnia na przedziałach: i
oraz ujemna na przedziałach
i
.
W takim razie funkcja jest rosnąca na przedziałach
i
oraz malejąca na przedziałach
i
. Na koniec, dla ciekawskich, wykres funkcji
.
Odpowiedź: Rosnąca na i
, malejąca na
i
.