Zadanie nr 6872240

Funkcja określona jest wzorem 3 2 f(x ) = x − 6x + 12x − 5 dla każdej liczby rzeczywistej . Wyznacz równania tych stycznych do wykresu funkcji , które przechodzą przez punkt (3,3) .

Rozwiązanie

Musimy sprawdzić w jakim punkcie styczna do wykresu f(x) jest prostą przechodzącą przez punkt (3,3) . Zacznijmy od wyznaczenia ogólnej postaci stycznej do danej funkcji w punkcie (a,f(a)) = (a,a3 − 6a 2 + 1 2a− 5) . Liczymy pochodną.

f′(x) = 3x 2 − 12x + 12.

Styczna do paraboli w punkcie (a,f(a)) ma więc współczynnik kierunkowy równy 2 3a − 1 2a+ 12 , czyli jest to prosta o równaniu

y = f′(a)(x− a)+ f(a) y = (3a2 − 12a+ 12)(x − a) + a3 − 6a2 + 12a − 5.

Sprawdzamy teraz kiedy styczna przechodzi przez dany punkt (3 ,3) .

3 = (3a2 − 12a + 12)(3 − a) + a3 − 6a2 + 12a − 5 2 3 2 3 2 0 = 9a − 36a + 36 − 3a + 12a − 12a + a − 6a + 12a − 8 0 = − 2a3 + 15a2 − 36a + 28

Szukamy teraz pierwiastków wymiernych tego wielomianu – łatwo sprawdzić, że jednym z nich jest a = 2 . Dzielimy więc ten wielomian przez (a− 2) – my zrobimy to grupując wyrazy.