Zadania.info
Największy internetowy zbiór zadań z matematyki
cornersUpL
cornersUpR

Zadania

Na skróty

Recenzje

Linki sponsorowane

cornersM

Linki sponsorowane

cornersR
Zadanie nr 6989795

Styczna do paraboli o równaniu  √ -- 2 y = 3x − 1 w punkcie P przecina prostą o równaniu  √ -- x− y 3 + 3 = 0 pod kątem π3- . Oblicz współrzędne punktu P .

Wersja PDF
Rozwiązanie

Przekształćmy dane równanie prostej, żeby zobaczyć jaki ma ona współczynnik kierunkowy.

 √ -- √ -- y 3 = x + 3 / : 3 1 3 √ 3- √ -- π √ -- y = √--x + √---= ----x+ 3 = tg --⋅x + 3. 3 3 3 6

To oznacza, że prosta ta tworzy z osią Ox kąt π6-= 30 ∘ . Spróbujmy teraz ustalić, co to oznacza dla stycznej, o której mowa w treści zadania.


PIC


Jeżeli to naszkicujemy to widać, że są dwa możliwe położenia stycznej względem danej prostej (bo nie wiemy, który dokładnie kąt jest równy π3- ). W pierwszym położeniu styczna jest prostopadła do osi Ox , co nie jest możliwe, bo parabola nie ma pionowych stycznych. W takim razie musi zachodzić drugi przypadek i kąt nachylenia stycznej do osi Ox jest równy

α = 180∘ − (180∘ − (120 ∘ + 3 0∘)) = 120∘ + 30∘ = 150∘.

Współczynnik kierunkowy stycznej jest więc równy

 √ -- ∘ ∘ ∘ ∘ --3- a = tg 150 = tg (180 − 30 ) = − tg 30 = − 3 .

Liczymy teraz pochodną danej funkcji

 √ -- f′(x) = 2 3x

i sprawdzamy w jakim punkcie jest ona równa  √- a = − -3- 3 .

 √ -- √ -- 3 1 2 3x0 = − ---- ⇐ ⇒ x0 = − -. 3 6

Stąd

 √ -- √ -- √ --2 --3- --3-−-3-6 y0 = f (x0) = 3x0 − 1 = 36 − 1 = 3 6

i  ( √- ) P = − 16, -33−636- .


PIC


 
Odpowiedź:  ( √- ) ( √- ) P = − 16, 336-− 1 = − 16, -33−636-

Wersja PDF
Twoje uwagi
Nie rozumiesz fragmentu rozwiązania?
W rozwiązaniu jest błąd lub literówka?
Masz inny pomysł na rozwiązanie tego zadania?
Napisz nam o tym!