/Szkoła średnia/Funkcje - wykresy/Styczna do wykresu/Wielomiany

Zadanie nr 7216684

Dana jest funkcja kwadratowa f określona wzorem 2 f(x) = kx + (2− 2k )x− 1 dla każdej liczby rzeczywistej x i k ∈ (− 1,0) . Wyznacz równania dwóch prostopadłych stycznych do wykresu funkcji f poprowadzonych w punktach, których pierwsze współrzędne różnią się o 2, jeżeli wiadomo, że funkcja f ma maksimum lokalne równe 7 2 .

Wersja PDF

Rozwiązanie

Liczymy pochodną danej funkcji

′ f (x) = 2kx + 2(1 − k).

Funkcja kwadratowa ma jedno ekstremum – w wierzchołku paraboli (xw,yw ) będącej jej wykresem. Pierwsza współrzędna wierzchołka to miejsce zerowe pochodnej, czyli

k-−-1- 0 = 2kxw + 2(1 − k) ⇒ xw = k .

Spróbujmy teraz wykorzystać podaną informację o największej wartości funkcji do obliczenia k .

7 ( k − 1 )2 k − 1 --= yw = f(xw ) = k⋅ ------ + (2 − 2k) ⋅------− 1 2 k k 9- (k-−-1)2-−-2(k-−-1)2 (k−-1-)2 2 = k = − k 2 9k = − 2(k − 2k + 1) 2k2 + 5k+ 2 = 0 Δ = 25− 16 = 9 − 5 − 3 − 5 + 3 1 k = ------- = − 2 lub k = ------- = − -. 4 4 2

Ponieważ z założenia k ∈ (− 1,0) mamy stąd k = − 1 2 i

1 f(x ) = − -x2 + 3x − 1 ′ 2 f (x ) = −x + 3.

Jeżeli styczne są prostopadłe w w punktach o współrzędnych (m ,f(m )) i (m + 2,f(m + 2)) , to musi być spełniony warunek

− 1 = f′(m )f′(m + 2 ) = (−m + 3)(− (m + 2)+ 3) 2 − 1 = (−m + 3)(−m + 1 ) = m − 4m + 3 0 = m 2 − 4m + 4 = (m − 2 )2 ⇒ m = 2.

To oznacza, że interesujące nas prostopadłe styczne są w punktach x = m = 2 i x = m + 2 = 4 . Równania tych stycznych mają więc postać

y = f′(2)(x − 2) + f(2) = (x − 2)+ 3 = x+ 1 y = f′(4)(x − 4) + f(4) = −(x − 4 )+ 3 = −x + 7.

Na koniec ilustracja całej sytuacji.

PIC

 
Odpowiedź: y = x+ 1 i y = −x + 7

Wersja PDF